Trả lời chính xác câu hỏi sau Câu 5.Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x^2(x^3-1)(x+1)^3(x-2)^2.$ Hàm số $y=f(x)$ có bao nhiêu điểm cực,tiểu ?,A. 2 B. 3 C. 1 D. 4

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 5: Để tìm số điểm cực tiểu của hàm số $ y = f(x) $, chúng ta cần phân tích đạo hàm $ f'(x) $. Đạo hàm đã cho là: $$ f'(x) = x^2 (x^3 - 1) (x + 1)^3 (x - 2)^2 $$ Bước 1: Tìm các nghiệm của $ f'(x) = 0 $: $$ x^2 (x^3 - 1) (x + 1)^3 (x - 2)^2 = 0 $$ Các nghiệm của phương trình này là: $$ x = 0 $$ $$ x^3 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 $$ $$ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 $$ $$ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 $$ Bước 2: Xác định dấu của $ f'(x) $ trong các khoảng giữa các nghiệm để tìm điểm cực tiểu. - Khoảng $ (-\infty, -1) $: Chọn $ x = -2 $: $$ f'(-2) = (-2)^2 ((-2)^3 - 1) ((-2) + 1)^3 ((-2) - 2)^2 = 4 \cdot (-9) \cdot (-1)^3 \cdot (-4)^2 = 4 \cdot (-9) \cdot (-1) \cdot 16 = 576 > 0 $$ - Khoảng $ (-1, 0) $: Chọn $ x = -0.5 $: $$ f'(-0.5) = (-0.5)^2 ((-0.5)^3 - 1) ((-0.5) + 1)^3 ((-0.5) - 2)^2 = 0.25 \cdot (-1.125) \cdot (0.5)^3 \cdot (-2.5)^2 = 0.25 \cdot (-1.125) \cdot 0.125 \cdot 6.25 = -0.21875 < 0 $$ - Khoảng $ (0, 1) $: Chọn $ x = 0.5 $: $$ f'(0.5) = (0.5)^2 ((0.5)^3 - 1) ((0.5) + 1)^3 ((0.5) - 2)^2 = 0.25 \cdot (-0.875) \cdot (1.5)^3 \cdot (-1.5)^2 = 0.25 \cdot (-0.875) \cdot 3.375 \cdot 2.25 = -1.640625 < 0 $$ - Khoảng $ (1, 2) $: Chọn $ x = 1.5 $: $$ f'(1.5) = (1.5)^2 ((1.5)^3 - 1) ((1.5) + 1)^3 ((1.5) - 2)^2 = 2.25 \cdot (3.375 - 1) \cdot (2.5)^3 \cdot (-0.5)^2 = 2.25 \cdot 2.375 \cdot 15.625 \cdot 0.25 = 20.703125 > 0 $$ - Khoảng $ (2, \infty) $: Chọn $ x = 3 $: $$ f'(3) = (3)^2 ((3)^3 - 1) ((3) + 1)^3 ((3) - 2)^2 = 9 \cdot (27 - 1) \cdot (4)^3 \cdot (1)^2 = 9 \cdot 26 \cdot 64 \cdot 1 = 14976 > 0 $$ Bước 3: Xác định điểm cực tiểu: - Từ $ (-\infty, -1) $ sang $ (-1, 0) $: $ f'(x) $ đổi từ dương sang âm tại $ x = -1 $. Vậy $ x = -1 $ là điểm cực đại. - Từ $ (-1, 0) $ sang $ (0, 1) $: $ f'(x) $ không đổi dấu tại $ x = 0 $. Vậy $ x = 0 $ không phải là điểm cực trị. - Từ $ (0, 1) $ sang $ (1, 2) $: $ f'(x) $ đổi từ âm sang dương tại $ x = 1 $. Vậy $ x = 1 $ là điểm cực tiểu. - Từ $ (1, 2) $ sang $ (2, \infty) $: $ f'(x) $ không đổi dấu tại $ x = 2 $. Vậy $ x = 2 $ không phải là điểm cực trị. Vậy hàm số $ y = f(x) $ có 1 điểm cực tiểu. Đáp án: C. 1