19.Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ bằng 3 cm. Xét trong cùng một khoảng thời gian như nhau, nếu chất điểm đi được quãng đường dài nhất là 3√2 cm thì quãng đường ngắn nhất mà chất điểm đi đ...

Cho chất điểm dao động điều hòa với biên độ \( A = 3 \text{ cm} \). Trong một khoảng thời gian bằng nhau, chất điểm đi được quãng đường dài nhất là \( S_{\max} = 3\sqrt{2} \text{ cm} \). Ta cần tìm quãng đường ngắn nhất \( S_{\min} \) mà chất điểm đi được trong cùng khoảng thời gian đó. --- **Lời giải:** 1. Phương trình chuyển động của chất điểm dao động điều hòa: \[ x = A \cos(\omega t + \varphi) \] 2. Quãng đường đi được trong khoảng thời gian \( \Delta t \) là: \[ S = \int |v| dt \] Nhưng ta sẽ dùng công thức quãng đường trong dao động điều hòa, trong khoảng thời gian \(\Delta t\): \[ S = A \cdot [\sin(\omega t_2 + \varphi) - \sin(\omega t_1 + \varphi)] \] hoặc cụ thể hơn, nếu gọi khoảng thời gian \(\Delta t = t_2 - t_1\), thì quãng đường trong khoảng thời gian đó là: \[ S = 2A \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) \] vì quãng đường đi trong khoảng thời gian \(\Delta t\) là khoảng cách cung giữa hai vị trí, với biên độ \(A\). 3. Do đó, quãng đường trong khoảng thời gian \(\Delta t\) là: \[ S = 2A \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) \] 4. Ta biết quãng đường lớn nhất trong khoảng thời gian này là: \[ S_{\max} = 3\sqrt{2} \text{ cm} \] và \( A = 3 \text{ cm} \). Thay vào công thức: \[ S_{\max} = 2A \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) = 3\sqrt{2} \] \[ 2 \times 3 \times \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) = 3\sqrt{2} \] \[ 6 \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) = 3\sqrt{2} \] \[ \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \Rightarrow \frac{\omega \Delta t}{2} = \frac{\pi}{4} \] (vì \(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)). --- 5. Trong cùng khoảng thời gian \(\Delta t\), quãng đường ngắn nhất xảy ra khi chất điểm bắt đầu ở vị trí biên (đi từ biên về biên) hoặc vị trí khác, tương ứng với pha ban đầu khác nhau. Quãng đường ngắn nhất trong cùng \(\Delta t\) cũng có công thức: \[ S = 2A \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) \cdot |\cos(\alpha)| \] với \(\alpha = \omega t + \varphi + \frac{\omega \Delta t}{2}\). Do đó, quãng đường trong khoảng thời gian \(\Delta t\) phụ thuộc vào pha ban đầu. Vậy, giá trị lớn nhất của quãng đường là khi \(|\cos(\alpha)| = 1\) (đã cho), còn giá trị nhỏ nhất khi \(|\cos(\alpha)| = 0\): \[ S_{\min} = 2A \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) \cdot 0 = 0 \] Nhưng câu hỏi có thể hiểu là quãng đường ngắn nhất không bằng 0 mà bằng giá trị tối thiểu khác. Thực tế, vì quãng đường được tính là: \[ S = 2A \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) |\cos(\alpha)| \] với \(\alpha\) thay đổi, thì giá trị nhỏ nhất không phải là 0 mà là: \[ S_{\min} = 2A \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) \cdot \min |\cos(\alpha)| \] \(\cos(\alpha)\) thay đổi trong khoảng \([-1,1]\), nên giá trị nhỏ nhất của \(S\) là 0. Nếu câu hỏi cho rằng chất điểm phải đi được quãng đường lớn hơn 0, thì ta cần xét khoảng thời gian khác hoặc pha khác. --- **Tóm lại:** - Quãng đường lớn nhất trong khoảng thời gian \(\Delta t\) là: \[ S_{\max} = 2A \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) = 3\sqrt{2} \Rightarrow \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] - Quãng đường nhỏ nhất trong cùng khoảng thời gian đó là: \[ S_{\min} = 2A \sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right) \cdot 0 = 0 \] --- **Trả lời:** Quãng đường ngắn nhất mà chất điểm đi được trong cùng khoảng thời gian là **0 cm**.