Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta có: \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{2^{n}-1}

Question

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta có: \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{2^{n}-1}<n\ giải tối ưu nhất nhé k miêu tả k dài dòng

Accepted Answer

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Kiểm tra với n = 2:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 2$
Ta có:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 1 + 0,5 + 0,333... = 1,833...$
Vì $1,833... < 2$ nên bất đẳng thức đúng với n = 2.

Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^k - 1} < k$

Bước 3: Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^{k+1} - 1} < k + 1$

Xét tổng:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^{k+1} - 1}$

Ta có thể viết lại tổng này thành:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^k - 1} + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^k + 1} + ... + \frac{1}{2^{k+1} - 1}$

Theo giả thiết quy nạp, ta biết rằng:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^k - 1} < k$

Do đó, ta cần chứng minh:
$\frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^k + 1} + ... + \frac{1}{2^{k+1} - 1} < 1$

Có tất cả $2^k$ số hạng trong khoảng từ $\frac{1}{2^k}$ đến $\frac{1}{2^{k+1} - 1}$. Mỗi số hạng đều nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{2^k}$.

Vậy tổng của chúng nhỏ hơn hoặc bằng:
$\frac{1}{2^k} \times 2^k = 1$

Như vậy, ta đã chứng minh được:
$\frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^k + 1} + ... + \frac{1}{2^{k+1} - 1} < 1$

Từ đó suy ra:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^{k+1} - 1} < k + 1$

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\ge 2\), ta có: \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{2^{n}-1}<n\ giải tối ưu nhất nhé k miêu tả k dài dòng