Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Để giải bài toán tích phân \( I_9 = \int^\infty_0 \frac{(\arctan x)^2}{x(1+x^2)} \, dx \), ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đổi biến Đặt \( x = \tan t \), khi đó \( dx = \sec^2 t \, dt = (1 + \tan^2 t) \, dt \). Giới hạn của \( x \) từ \( 0 \) đến \( \infty \) tương ứng với \( t \) từ \( 0 \) đến \( \frac{\pi}{2} \). Thay vào tích phân, ta có: \[ I_9 = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{(\arctan(\tan t))^2}{\tan t (1 + \tan^2 t)} (1 + \tan^2 t) \, dt \] Do \(\arctan(\tan t) = t\) khi \( t \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \), nên tích phân trở thành: \[ I_9 = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{t^2}{\tan t} \, dt \] Bước 2: Biến đổi tích phân Ta có \(\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}\), do đó: \[ I_9 = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{t^2 \cos t}{\sin t} \, dt = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 t^2 \cot t \, dt \] Bước 3: Tích phân từng phần Đặt \( u = t^2 \) và \( dv = \cot t \, dt \). Khi đó, \( du = 2t \, dt \) và \( v = \ln|\sin t| \). Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Ta có: \[ I_9 = \left[ t^2 \ln|\sin t| \right]^{\frac{\pi}{2}}_0 - \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \ln|\sin t| \cdot 2t \, dt \] Bước 4: Tính giá trị biên Khi \( t = \frac{\pi}{2} \), \(\ln|\sin t| = \ln 1 = 0\). Khi \( t = 0 \), \(\ln|\sin t| \to -\infty\), nhưng \( t^2 \ln|\sin t| \to 0\) do \( t^2 \) tiến về 0 nhanh hơn. Do đó, giá trị biên là 0. Bước 5: Tính tích phân còn lại Tích phân còn lại là: \[ -2 \int^{\frac{\pi}{2}}_0 t \ln|\sin t| \, dt \] Tích phân này có thể được tính bằng cách sử dụng chuỗi hoặc các phương pháp đặc biệt khác, nhưng thường không có công thức đơn giản cho tích phân này trong chương trình lớp 12. Kết luận: Tích phân \( I_9 \) có thể được biểu diễn dưới dạng tích phân của hàm \( t \ln|\sin t| \), nhưng việc tính giá trị chính xác của nó thường yêu cầu các phương pháp nâng cao hơn.