Cho hai số dương a và b. CMR $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}$.

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a và b ta có: $a+b\ge 2\sqrt{ab}.$ Do đó: $\frac{a+b}{ab}\ge \frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}.$ Mặt khác, ta lại có: $\frac{4}{a+b}\le \frac{4}{2\sqrt{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}.$ Vậy: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}.$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.