Giúp mình với! III. BÀI TẬP VỀ NHÀ,Bài 1. Tìm x biết:,$a)~(x-1)^3+(2-x)(4+2x+x^2)+3x(x+2)=16;$,$b)~(x-3)^3-(x-3)(x^2+3x+9)+9(x+1)^2=4;$,$c)~x(x-5)(x+5)-(x+2)(x^2-2x+4)=17;$,$d)~8(x-\frac12)(x^2+\frac12x+\frac14)-4x(1-x+2x^2)+2=0.$,Bài 2. Tính giá trị biểu thức:,$a)~M=(6x+2)(9x^2-3x+1)-53(x+1)(x^2-x+1)$ tại $x=-2.$,$b)~N=x^3+y^3+6x^2y^2(x+y)+3xy(x^2+y^2)$ biết $x+y=1.$,Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:,a) Nếu $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc;$,b) Nếu $\frac1a+\frac1b+\frac1c=0$ thì $\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3;$,c) Nếu $a=b+c$ thì: $\frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{a+b}{a+c};$,d) Cho $a+b=1.$ Chứng minh rằng $a^3+b^3+3ab=1$,Bài 4. Tính nhanh:,$a)~\frac{2021^3+2023^3}{4044}-2021.2023;$,$b)~(2022^3+1)(2022^3-1)-2^6.1011^6;$,$c)~18^3-3.18^2.8+3.18.8^2-2^9.$,Bài 5.Cho $A=1^3+2^3+3^3+...+2022^2.$ Chứng minh rằng: A:2023.

Question

Accepted Answer

Bài 1:
a) $(x-1)^3+(2-x)(4+2x+x^2)+3x(x+2)=16$
$(x-1)^3-(x-2)(4+2x+x^2)+3x(x+2)=16$
$(x-1)^3-(x-2)[(2)^2+2.x.2+x^2]+3x(x+2)=16$
$(x-1)^3-(x-2)(x+2)^2+3x(x+2)=16$
$(x-1)^3-(x-2)(x+2)^2+3x(x+2)-16=0$

Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.

Bài 2:
a) Ta có $ M=(6x+2)(9x^2-3x+1)-53(x+1)(x^2-x+1)$
$ = 54x^3+27x^2-3x+18x^2-6x+2-53(x^3+1)$
$ = 54x^3+9x^2-6x+2-53x^3-53$
$ = x^3+9x^2-6x-51.$
Thay $ x=-2$ vào biểu thức trên ta được:
$ M=(-2)^3+9(-2)^2-6(-2)-51= -8+36+12-51= -11.$

b) Ta có $ N=x^3+y^3+6x^2y^2(x+y)+3xy(x^2+y^2)$
$ = (x+y)(x^2-xy+y^2)+6x^2y^2(x+y)+3xy[(x+y)^2-2xy]$
$ = (x+y)[x^2-xy+y^2+6x^2y^2+3y(x+y)-6xy]$
$ = (x+y)[x^2-xy+y^2+6x^2y^2+3xy+3y^2-6xy]$
$ = (x+y)[x^2-3xy+4y^2+6x^2y^2].$
Thay $ x+y=1$ vào biểu thức trên ta được:
$ N=1[x^2-3xy+4y^2+6x^2y^2]=x^2-3xy+4y^2+6x^2y^2.$

Bài 3:
a) Ta có $a+b+c=0$ nên $a+b=-c$. 
Do đó $(a+b)^3=(-c)^3$ 
hay $a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3$
Mà $a+b=-c$ nên $a^3+b^3-3abc=-c^3$ 
suy ra $a^3+b^3+c^3=3abc.$

b) Ta có $\frac1a+\frac1b+\frac1c=0$ nên $\frac{bc+ac+ab}{abc}=0$ hay $ab+bc+ac=0.$
Ta lại có $\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}=\frac{(ab+bc+ac)^2-2abc(a+b+c)}{a^2b^2c^2}.$
Thay $ab+bc+ac=0$ ta được $\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{-2abc(a+b+c)}{a^2b^2c^2}.$
Mặt khác $ab+bc+ac=0$ nên $a+b=-\frac{c}{a}$ hay $a+b+c=0.$
Do đó $\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{-2abc.0}{a^2b^2c^2}=0.$
Vậy $\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3.$

c) Ta có $a=b+c$ nên $a^3=(b+c)^3=b^3+c^3+3bc(b+c)=b^3+c^3+3abc.$
Do đó $a^3+b^3=a^3+c^3+3abc$ hay $\frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{a+b}{a+c}.$

d) Ta có $a+b=1$ nên $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^2-ab+b^2.$
Do đó $a^3+b^3+3ab=a^2-ab+b^2+3ab=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=1.$

Bài 4:
a) Ta có $\frac{2021^3+2023^3}{4044}-2021.2023=\frac{(2021+2023)(2021^2-2021.2023+2023^2)}{4044}-2021.2023=2021^2-2021.2023+2023^2-2021.2023=(2021-2023)^2=4.$
b) Ta có $(2022^3+1)(2022^3-1)-2^6.1011^6=2022^6-1-(2^3.1011)^6=2022^6-1-2022^6=-1.$
c) Ta có $18^3-3.18^2.8+3.18.8^2-2^9=18^3-3.18^2.8+3.18.8^2-8^3=(18-8)^3=1000.$

Bài 5:
Ta có: $A = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 2022^3$

Ta sẽ chứng minh rằng tổng này chia hết cho 2023 bằng cách nhóm các số hạng lại theo cặp sao cho mỗi cặp đều chia hết cho 2023.

Nhóm các số hạng lại theo cặp như sau:
$A = (1^3 + 2022^3) + (2^3 + 2021^3) + ... + (1011^3 + 1012^3)$

Xét một cặp tổng quát $k^3 + (2023-k)^3$:
$k^3 + (2023-k)^3 = k^3 + (2023-k)(2023-k)(2023-k)$
$= k^3 + (2023-k)(2023^2 - 2 \cdot 2023 \cdot k + k^2)$
$= k^3 + 2023^3 - 2 \cdot 2023^2 \cdot k + 2023 \cdot k^2 - 2023^2 \cdot k + 2 \cdot 2023 \cdot k^2 - k^3$
$= 2023^3 - 3 \cdot 2023^2 \cdot k + 3 \cdot 2023 \cdot k^2$

Rõ ràng, $2023^3 - 3 \cdot 2023^2 \cdot k + 3 \cdot 2023 \cdot k^2$ chia hết cho 2023.

Vậy mỗi cặp $k^3 + (2023-k)^3$ đều chia hết cho 2023. Do đó, tổng $A$ cũng chia hết cho 2023.

Vậy $A$ chia hết cho 2023.