giúp em với ạ toán 12

Câu 2: a) Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{m\} \) Giải thích: Hàm số \( y = \frac{x - m^2 - 2}{x - m} \) có mẫu số \( x - m \). Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0, tức là \( x - m \neq 0 \) hay \( x \neq m \). Do đó, tập xác định của hàm số là tất cả các số thực trừ giá trị \( m \). b) Khi \( m = 1 \) hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \( (-\infty; 1) \) và \( (1; +\infty) \). Giải thích: Khi \( m = 1 \), hàm số trở thành \( y = \frac{x - 1^2 - 2}{x - 1} = \frac{x - 3}{x - 1} \). Để kiểm tra tính đồng biến, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x - 3) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x + 3}{(x - 1)^2} = \frac{2}{(x - 1)^2} \] Do \( \frac{2}{(x - 1)^2} > 0 \) với mọi \( x \neq 1 \), nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \( (-\infty; 1) \) và \( (1; +\infty) \). c) Khi \( m = 1 \) thì trên đoạn \([1; 4]\) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{2}\). Giải thích: Khi \( m = 1 \), hàm số trở thành \( y = \frac{x - 3}{x - 1} \). Ta xét giá trị của hàm số tại các điểm đầu và cuối của đoạn \([1; 4]\): - Tại \( x = 1 \), hàm số không xác định. - Tại \( x = 4 \), \( y = \frac{4 - 3}{4 - 1} = \frac{1}{3} \). Do hàm số đồng biến trên khoảng \( (1; +\infty) \), giá trị lớn nhất trên đoạn \([1; 4]\) sẽ đạt được tại \( x = 4 \), nhưng giá trị này là \(\frac{1}{3}\), không phải \(\frac{1}{2}\). Vậy khẳng định này sai. d) Có 1 giá trị của tham số \( m \) để giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \frac{x - m^2 - 2}{x - m} \) trên đoạn \([0; 4]\) bằng -1. Giải thích: Ta cần tìm \( m \) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; 4]\) bằng -1. Xét hàm số \( y = \frac{x - m^2 - 2}{x - m} \). Đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(x - m) \cdot 1 - (x - m^2 - 2) \cdot 1}{(x - m)^2} = \frac{x - m - x + m^2 + 2}{(x - m)^2} = \frac{m^2 - m + 2}{(x - m)^2} \] Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng -1, ta cần: \[ \frac{x - m^2 - 2}{x - m} = -1 \] \[ x - m^2 - 2 = - (x - m) \] \[ x - m^2 - 2 = -x + m \] \[ 2x = m^2 + m + 2 \] \[ x = \frac{m^2 + m + 2}{2} \] Ta cần \( x \) nằm trong đoạn \([0; 4]\): \[ 0 \leq \frac{m^2 + m + 2}{2} \leq 4 \] \[ 0 \leq m^2 + m + 2 \leq 8 \] Giải bất phương trình: \[ m^2 + m + 2 \leq 8 \] \[ m^2 + m - 6 \leq 0 \] \[ (m + 3)(m - 2) \leq 0 \] Giải ra ta được: \[ -3 \leq m \leq 2 \] Kiểm tra các giá trị \( m \) trong khoảng này: - Khi \( m = -3 \), \( x = \frac{9 - 3 + 2}{2} = 4 \) - Khi \( m = 2 \), \( x = \frac{4 + 2 + 2}{2} = 4 \) Cả hai trường hợp đều thỏa mãn điều kiện \( x \) nằm trong đoạn \([0; 4]\). Vậy có 1 giá trị của tham số \( m \) (chẳng hạn \( m = 2 \)) để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; 4]\) bằng -1. Tóm lại: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 3: a) Đúng. Thay $m=1$ vào hàm số ta được $y=x^3-3x^2+2025.$ Tính $y'=3x^2-6x.$ Cho $y'=0$ ta được $x=0$ hoặc $x=2.$ Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2.$ b) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ nên không thể đồng biến trên khoảng $(0;2).$ c) Đúng. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ nên giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0;+\infty)$ là $y(2)=2021.$ d) Đúng. Ta có $y'=3x^2-6mx+3(m^2-1).$ Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0;+\infty)$ thì phương trình $y'=0$ phải có hai nghiệm thực phân biệt trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm âm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\Delta>0$ và $P< 0.$ Giải hệ bất phương trình này ta được $m\in (-1;1).$ Vậy có tất cả 1 giá trị nguyên của m là m=0. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số độ cao $h(t)$ và vận tốc $v(t)$ của con tàu. a) Độ cao lớn nhất Hàm số độ cao của con tàu được cho bởi: \[ h(t) = -0,01t^3 + 1,1t^2 - 30t + 250 \] Để tìm độ cao lớn nhất, ta cần xét giá trị của hàm số $h(t)$ trong khoảng $0 \leq t \leq 50$. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của $h(t)$ để tìm các điểm cực trị: \[ h'(t) = -0,03t^2 + 2,2t - 30 \] Giải phương trình $h'(t) = 0$ để tìm các điểm cực trị: \[ -0,03t^2 + 2,2t - 30 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = -0,03$, $b = 2,2$, $c = -30$, ta tính được: \[ t = \frac{-2,2 \pm \sqrt{(2,2)^2 - 4 \times (-0,03) \times (-30)}}{2 \times (-0,03)} \] \[ t = \frac{-2,2 \pm \sqrt{4,84 - 3,6}}{-0,06} \] \[ t = \frac{-2,2 \pm \sqrt{1,24}}{-0,06} \] \[ t_1 \approx 25, \quad t_2 \approx 40 \] Ta kiểm tra giá trị của $h(t)$ tại $t = 0$, $t = 25$, $t = 40$, và $t = 50$: - $h(0) = 250$ km - $h(25) \approx 139,37$ km - $h(40) \approx 90$ km - $h(50) \approx 0$ km Do đó, độ cao lớn nhất là $250$ km tại $t = 0$. b) Độ cao thấp nhất Từ các giá trị đã tính ở trên, độ cao thấp nhất trong khoảng $0 \leq t \leq 50$ là $0$ km tại $t = 50$. c) Vận tốc lớn nhất Vận tốc của con tàu là đạo hàm của hàm độ cao $h(t)$: \[ v(t) = h'(t) = -0,03t^2 + 2,2t - 30 \] Để tìm vận tốc lớn nhất, ta xét đạo hàm của $v(t)$: \[ v'(t) = -0,06t + 2,2 \] Giải phương trình $v'(t) = 0$ để tìm thời điểm vận tốc cực đại: \[ -0,06t + 2,2 = 0 \] \[ t = \frac{2,2}{0,06} \approx 36,67 \] Ta kiểm tra giá trị của $v(t)$ tại $t = 0$, $t = 36,67$, và $t = 50$: - $v(0) = -30$ km/s - $v(36,67) \approx 10,33$ km/s - $v(50) \approx -5$ km/s Vận tốc lớn nhất là $10,33$ km/s tại $t \approx 36,67$. d) Độ cao khi vận tốc lớn nhất Độ cao tại thời điểm $t \approx 36,67$ là: \[ h(36,67) \approx -0,01(36,67)^3 + 1,1(36,67)^2 - 30(36,67) + 250 \] Tính toán cụ thể: \[ h(36,67) \approx 139,37 \text{ km} \] Vậy, độ cao con tàu đạt được khi vận tốc lớn nhất là $139,37$ km. Câu 1: Trước tiên, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất (m) và giá trị lớn nhất (M) của hàm số \( f(x) = \frac{1}{2}x - \sqrt{x + 1} \) trên đoạn \([0; 3]\). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x - \sqrt{x + 1}\right) \] \[ f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} = 0 \] \[ \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \] \[ 1 = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \] \[ \sqrt{x + 1} = 1 \] \[ x + 1 = 1 \] \[ x = 0 \] Bước 3: Đánh giá hàm số tại các điểm đầu và cuối của đoạn \([0; 3]\) và tại các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = \frac{1}{2}(0) - \sqrt{0 + 1} = -1 \] - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = \frac{1}{2}(3) - \sqrt{3 + 1} = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{1}{2} \] - Tại \( x = 0 \) (đã tính ở trên): \[ f(0) = -1 \] Bước 4: So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất (m) và giá trị lớn nhất (M): - Giá trị nhỏ nhất \( m = -1 \) - Giá trị lớn nhất \( M = -\frac{1}{2} \) Bước 5: Tính tổng \( S = 2M - m \): \[ S = 2\left(-\frac{1}{2}\right) - (-1) \] \[ S = -1 + 1 \] \[ S = 0 \] Vậy, tổng \( S = 2M - m \) bằng 0. Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x^3 + (1 + m^2)x + 1 \) trên đoạn \([0; 1]\). 2. Xác định các giá trị nguyên của tham số \( m \) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; 1]\) không vượt quá 7. 3. Đếm số phần tử trong tập hợp \( S \). Bước 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([0; 1]\) Hàm số \( f(x) = x^3 + (1 + m^2)x + 1 \) là một hàm đa thức, do đó nó liên tục và khả vi trên đoạn \([0; 1]\). Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này, chúng ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm đầu và cuối của đoạn, cũng như tại các điểm cực trị bên trong đoạn. Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 + (1 + m^2) \] Tìm điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 + (1 + m^2) = 0 \] \[ 3x^2 = -(1 + m^2) \] Do \( 1 + m^2 \) luôn dương, nên phương trình trên không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là hàm số \( f(x) \) không có điểm cực trị bên trong đoạn \([0; 1]\). Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm đầu và cuối của đoạn: \[ f(0) = 0^3 + (1 + m^2) \cdot 0 + 1 = 1 \] \[ f(1) = 1^3 + (1 + m^2) \cdot 1 + 1 = 1 + 1 + m^2 + 1 = 3 + m^2 \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; 1]\) là: \[ \max\{f(0), f(1)\} = \max\{1, 3 + m^2\} \] Bước 2: Xác định các giá trị nguyên của tham số \( m \) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; 1]\) không vượt quá 7 \[ 3 + m^2 \leq 7 \] \[ m^2 \leq 4 \] \[ -2 \leq m \leq 2 \] Bước 3: Đếm số phần tử trong tập hợp \( S \) Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \([-2; 2]\) là: \[ m = -2, -1, 0, 1, 2 \] Vậy tập hợp \( S \) có 5 phần tử. Đáp án: Tập hợp \( S \) có 5 phần tử.