Cho A = √x − √(x + 1 − 2√x).

a) Rút gọn A.

Question

Cho A = √x − √(x + 1 − 2√x).

a) Rút gọn A.

Timi · Accepted Answer

Để rút gọn biểu thức $ A = \sqrt{x} - \sqrt{x + 1 - 2\sqrt{x}} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - Điều kiện để $ \sqrt{x} $ có nghĩa là $ x \geq 0 $.
   - Điều kiện để $ \sqrt{x + 1 - 2\sqrt{x}} $ có nghĩa là $ x + 1 - 2\sqrt{x} \geq 0 $.

Ta có:
   $$
   x + 1 - 2\sqrt{x} \geq 0
   $$
   Đặt $ t = \sqrt{x} $, suy ra $ t^2 = x $. Khi đó:
   $$
   t^2 + 1 - 2t \geq 0
   $$
   $$
   t^2 - 2t + 1 \geq 0
   $$
   $$
   (t - 1)^2 \geq 0
   $$
   Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi $ t \geq 0 $, tức là $ x \geq 0 $.

Vậy điều kiện xác định của $ A $ là $ x \geq 0 $.

2. Rút gọn biểu thức:
   - Ta có:
     $$
     A = \sqrt{x} - \sqrt{x + 1 - 2\sqrt{x}}
     $$
   - Ta nhận thấy rằng:
     $$
     x + 1 - 2\sqrt{x} = (\sqrt{x} - 1)^2
     $$
   - Do đó:
     $$
     \sqrt{x + 1 - 2\sqrt{x}} = \sqrt{(\sqrt{x} - 1)^2} = |\sqrt{x} - 1|
     $$

- Vì $ x \geq 0 $, ta có hai trường hợp:
     - Nếu $ \sqrt{x} \geq 1 $, tức là $ x \geq 1 $, thì $ |\sqrt{x} - 1| = \sqrt{x} - 1 $.
       $$
       A = \sqrt{x} - (\sqrt{x} - 1) = \sqrt{x} - \sqrt{x} + 1 = 1
       $$
     - Nếu $ \sqrt{x} < 1 $, tức là $ 0 \leq x < 1 $, thì $ |\sqrt{x} - 1| = 1 - \sqrt{x} $.
       $$
       A = \sqrt{x} - (1 - \sqrt{x}) = \sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} = 2\sqrt{x} - 1
       $$

Kết luận:
   - Nếu $ x \geq 1 $, thì $ A = 1 $.
   - Nếu $ 0 \leq x < 1 $, thì $ A = 2\sqrt{x} - 1 $.

Đáp số: 
- Nếu $ x \geq 1 $, thì $ A = 1 $.
- Nếu $ 0 \leq x < 1 $, thì $ A = 2\sqrt{x} - 1 $.