Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 1. Cho $\Delta ABC$ nhọn, các đường cao BD,CE cắt nhau tại H . Đường vuông góc với AB tại E,và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K,a) Chứng minh $AH\bot BC.$,b) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.,Bài 2. Cho $\Delta ABC$ có O là trung điểm của AC . Trên tia BO lấy điểm D sao cho $OD=OB$,a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.,b) Trên cạnh BC lấy các điểm M,N sao cho $BM=MN=NC.$ Tia NO cắt AD,AB,lần lượt tại I, K . Chứng minh $AI=NC$ và $AM//IN.$

Question

Accepted Answer

Bài 1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Chứng minh $AH \bot BC$.

- Ta có $BD$ và $CE$ là các đường cao của tam giác $\Delta ABC$, do đó $BD \bot AC$ và $CE \bot AB$.
- Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$, ta có $H$ là trực tâm của tam giác $\Delta ABC$.
- Theo tính chất của trực tâm, đường thẳng đi qua trực tâm và đỉnh còn lại của tam giác sẽ vuông góc với cạnh đối diện. Do đó, $AH \bot BC$.

b) Chứng minh tứ giác $BHCK$ là hình bình hành.

- Ta có $K$ là giao điểm của đường vuông góc với $AB$ tại $E$ và đường vuông góc với $AC$ tại $C$.
- Do $K$ nằm trên đường vuông góc với $AB$ tại $E$, nên $KE \bot AB$.
- Do $K$ nằm trên đường vuông góc với $AC$ tại $C$, nên $KC \bot AC$.
- Xét tứ giác $BHCK$:
  - Ta đã có $AH \bot BC$ từ phần a).
  - Ta có $BD \bot AC$ và $CE \bot AB$, do đó $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.
  - Vì $K$ là giao điểm của hai đường vuông góc với $AB$ và $AC$, nên $K$ là trực tâm của tam giác $\Delta AEC$.
  - Do đó, $BH \parallel CK$ và $BK \parallel CH$ (vì cả hai cặp đường thẳng này đều vuông góc với các cạnh của tam giác $\Delta ABC$).

- Từ đó, tứ giác $BHCK$ có hai cặp cạnh đối song song, nên $BHCK$ là hình bình hành.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được $AH \bot BC$ và tứ giác $BHCK$ là hình bình hành.

Bài 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình bình hành

1. Xét trung điểm và đoạn thẳng:
   - O là trung điểm của AC, do đó $OA = OC$.
   - Trên tia BO, lấy điểm D sao cho $OD = OB$.

2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành:
   - Ta có $OA = OC$ và $OD = OB$.
   - Do đó, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và chia đôi nhau.
   - Theo định nghĩa, tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo là hình bình hành.
   - Vậy, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

b) Chứng minh $AI = NC$ và $AM \parallel IN$

1. Xét các điểm trên cạnh BC:
   - Trên cạnh BC, lấy các điểm M, N sao cho $BM = MN = NC$.
   - Điều này có nghĩa là M và N chia BC thành ba đoạn bằng nhau.

2. Chứng minh $AI = NC$:
   - Tia NO cắt AD tại I và AB tại K.
   - Do $BM = MN = NC$, ta có $BN = 2 \times BM$ và $NC = BM$.
   - Vì NO là tia cắt AD tại I, theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có:
     - $AI = \frac{1}{2} \times AD$ (do O là trung điểm của AC và D nằm trên tia BO).
   - Do đó, $AI = NC$.

3. Chứng minh $AM \parallel IN$:
   - Xét tam giác $ABN$ và đường thẳng $AM$.
   - Vì $BM = MN = NC$, ta có $M$ là trung điểm của $BN$.
   - Tương tự, trong tam giác $ADN$, $I$ là trung điểm của $DN$ (do $AI = NC$).
   - Theo định lý đường trung bình trong tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai, thì nó cũng đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
   - Do đó, $AM \parallel IN$.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được $AI = NC$ và $AM \parallel IN$.