Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất .

Để giải bài toán này, ta cần tìm vị trí của các điểm M và N trên các cạnh BC và AC của tam giác đều ABC sao cho độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất, với điều kiện BM = CN. Bước 1: Phân tích bài toán Tam giác ABC là tam giác đều, do đó các cạnh AB, BC, và CA đều có độ dài bằng nhau. Giả sử độ dài mỗi cạnh là a. Điểm M nằm trên cạnh BC và điểm N nằm trên cạnh AC sao cho BM = CN. Điều này có nghĩa là M và N cách các đỉnh B và C một khoảng bằng nhau. Bước 2: Sử dụng tính chất đối xứng Do tam giác ABC là tam giác đều, ta có thể sử dụng tính chất đối xứng để đơn giản hóa bài toán. Khi BM = CN, điều này gợi ý rằng M và N có thể là các điểm đối xứng qua đường trung tuyến từ A đến BC. Bước 3: Xác định vị trí của M và N Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Khi đó, đường trung tuyến AD cũng là đường cao và đường phân giác của tam giác đều ABC. Vì BM = CN, và để MN nhỏ nhất, M và N nên nằm trên đường thẳng vuông góc với AD tại D. Do đó, M và N sẽ là các điểm đối xứng qua D trên các cạnh BC và AC. Bước 4: Tính độ dài MN Khi M và N là các điểm đối xứng qua D, độ dài đoạn thẳng MN sẽ là ngắn nhất khi M và N trùng với D. Khi đó, MN = 0. Kết luận Vị trí của M và N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất là khi M và N đều trùng với trung điểm D của cạnh BC. Khi đó, độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất là 0.