Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. a. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. b. Gọi K là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng tam giác BKH...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần như sau: a. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. Để chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng nó có bốn góc vuông. 1. Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên AM = MB và AN = NC. 2. Tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90^\circ. 3. Đường cao AH vuông góc với BC, do đó góc AHB = 90^\circ và góc AHC = 90^\circ. 4. Xét tứ giác AMHN: - Góc AMH = góc AHB = 90^\circ (vì AH là đường cao). - Góc ANH = góc AHC = 90^\circ (vì AH là đường cao). - AM = MB và AN = NC (do M và N là trung điểm). 5. Do đó, tứ giác AMHN có hai góc đối diện là góc vuông và hai cạnh đối diện bằng nhau, nên AMHN là hình chữ nhật. b. Chứng minh rằng tam giác BKH đồng dạng với tam giác CKH. Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta cần chứng minh rằng chúng có ba góc tương ứng bằng nhau. 1. Xét tam giác BKH và tam giác CKH: - Góc BKH và góc CKH là góc đối đỉnh, nên bằng nhau. - Góc BHK = góc CHK = 90^\circ (vì AH là đường cao). 2. Do đó, tam giác BKH và tam giác CKH có hai góc tương ứng bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA). c. Biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài KH. 1. Tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagore, ta có: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] 2. Vì M và N là trung điểm của AB và AC, nên: - AM = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm} - AN = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm} 3. Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH chia BC thành hai đoạn BH và CH. Theo tính chất của đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ AH^2 = BH \cdot CH \] 4. Ta có: \[ BH + CH = BC = 10 \text{ cm} \] 5. Sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông: \[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm} \] 6. Vì K là giao điểm của BN và CM, và M, N là trung điểm, nên K là trung điểm của đoạn thẳng nối từ H đến BC. Do đó, KH = \frac{AH}{2} = \frac{4.8}{2} = 2.4 \text{ cm}. Vậy độ dài KH là 2.4 cm.