giải giúp e ạ

Chúng ta sẽ giải từng bài toán một cách chi tiết như sau: Bài 3 Yêu cầu: Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A(4;-6;3)\) và \(B(2;-2;3)\). Giải: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\) được tính bằng: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 4, -2 + 6, 3 - 3) = (-2, 4, 0) \] 2. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(4;-6;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB} = (-2, 4, 0)\) nên phương trình tham số là: \[ \begin{cases} x = 4 - 2t \\ y = -6 + 4t \\ z = 3 \end{cases} \] Bài 4 Yêu cầu: Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(-4;0;4)\) và song song với \(BC\). Giải: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\): \[ \overrightarrow{BC} = (3 - 2, -2 + 5, 4 - 6) = (1, 3, -2) \] 2. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(-4;0;4)\) và song song với \(\overrightarrow{BC} = (1, 3, -2)\) nên phương trình tham số là: \[ \begin{cases} x = -4 + t \\ y = 3t \\ z = 4 - 2t \end{cases} \] Bài 5 Yêu cầu: Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(O(0,0,0)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P): 3x + y - z + 4 = 0\). Giải: 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): \(\overrightarrow{n} = (3, 1, -1)\). 2. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua \(O(0,0,0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{n} = (3, 1, -1)\) nên phương trình tham số là: \[ \begin{cases} x = 3t \\ y = t \\ z = -t \end{cases} \] Bài 6 Yêu cầu: Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(4;-5;0)\) và song song với đường thẳng \(\Delta\). Giải: 1. Vectơ chỉ phương của \(\Delta\): \(\overrightarrow{u} = (3, -1, 5)\). 2. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua \(A(4;-5;0)\) và song song với \(\overrightarrow{u} = (3, -1, 5)\) nên phương trình tham số là: \[ \begin{cases} x = 4 + 3t \\ y = -5 - t \\ z = 5t \end{cases} \] Bài 7 Yêu cầu: Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M(-2;4;1)\), song song với mặt phẳng \((P)\) và vuông góc với \(\Delta\). Giải: 1. Vectơ pháp tuyến của \((P)\): \(\overrightarrow{n} = (3, 4, -1)\). 2. Vectơ chỉ phương của \(\Delta\): \(\overrightarrow{u} = (2, 4, 3)\). 3. Vectơ chỉ phương của \(d\): \(\overrightarrow{v}\) thỏa mãn \(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} = 0\) và \(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = 0\). Giải hệ: \[ \begin{cases} 3a + 4b - c = 0 \\ 2a + 4b + 3c = 0 \end{cases} \] Giải hệ ta được \(\overrightarrow{v} = (16, -11, 4)\). 4. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua \(M(-2;4;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{v} = (16, -11, 4)\) nên phương trình tham số là: \[ \begin{cases} x = -2 + 16t \\ y = 4 - 11t \\ z = 1 + 4t \end{cases} \] Bài 8 Yêu cầu: Viết phương trình đường thẳng \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\). Giải: 1. Vectơ pháp tuyến của \((P)\): \(\overrightarrow{n_1} = (1, 4, -1)\). 2. Vectơ pháp tuyến của \((Q)\): \(\overrightarrow{n_2} = (3, -1, 5)\). 3. Vectơ chỉ phương của \(d\): \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}\): \[ \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 4 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{vmatrix} = (19, -8, -13) \] 4. Tìm điểm chung của hai mặt phẳng: Giải hệ: \[ \begin{cases} x + 4y - z + 6 = 0 \\ 3x - y + 5z - 11 = 0 \end{cases} \] Giả sử \(z = 0\), ta có: \[ \begin{cases} x + 4y + 6 = 0 \\ 3x - y - 11 = 0 \end{cases} \] Giải hệ ta được \(x = 1\), \(y = -\frac{7}{4}\), \(z = 0\). 5. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \((1, -\frac{7}{4}, 0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{v} = (19, -8, -13)\) nên phương trình tham số là: \[ \begin{cases} x = 1 + 19t \\ y = -\frac{7}{4} - 8t \\ z = -13t \end{cases} \] Vậy là chúng ta đã giải xong các bài toán yêu cầu.