Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 1: a. Rút gọn biểu thức $P=\left(\frac{a}{ab-b^2}+\frac{2a-b}{ab-a^2}\right):\left(\frac{1}{ab^2}-\frac{1}{a^2b}\right)$ (với $a \ne b$, $a \ne 0$, $b \ne 0$) Đầu tiên, ta rút gọn từng phần tử trong biểu thức: - Phần tử đầu tiên: $\frac{a}{ab-b^2}$ - Phần tử thứ hai: $\frac{2a-b}{ab-a^2}$ Ta có: $\frac{a}{ab-b^2} = \frac{a}{b(a-b)}$ $\frac{2a-b}{ab-a^2} = \frac{2a-b}{a(b-a)} = \frac{2a-b}{-a(a-b)} = \frac{-(2a-b)}{a(a-b)}$ Do đó: $\frac{a}{b(a-b)} + \frac{-(2a-b)}{a(a-b)} = \frac{a^2 - b(2a-b)}{ab(a-b)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{ab(a-b)} = \frac{a-b}{ab}$ Tiếp theo, ta rút gọn phần tử cuối cùng: $\frac{1}{ab^2} - \frac{1}{a^2b} = \frac{a - b}{a^2b^2}$ Do đó: $P = \frac{a-b}{ab} : \frac{a-b}{a^2b^2} = \frac{a-b}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{a-b} = ab$ Vậy $P = ab$. b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^2 + y^2 - x - y = 8$ Để tìm nghiệm nguyên, ta viết lại phương trình dưới dạng: $x^2 - x + y^2 - y = 8$ $x(x-1) + y(y-1) = 8$ Ta thử các giá trị nguyên của $x$ và $y$ để tìm nghiệm: - Với $x = 0$: $0 + y(y-1) = 8$ không có nghiệm nguyên. - Với $x = 1$: $0 + y(y-1) = 8$ không có nghiệm nguyên. - Với $x = 2$: $2 + y(y-1) = 8$ không có nghiệm nguyên. - Với $x = 3$: $6 + y(y-1) = 8$ không có nghiệm nguyên. - Với $x = 4$: $12 + y(y-1) = 8$ không có nghiệm nguyên. - Với $x = 5$: $20 + y(y-1) = 8$ không có nghiệm nguyên. - Với $x = 6$: $30 + y(y-1) = 8$ không có nghiệm nguyên. - Với $x = 7$: $42 + y(y-1) = 8$ không có nghiệm nguyên. - Với $x = 8$: $56 + y(y-1) = 8$ không có nghiệm nguyên. - Với $x = 9$: $72 + y(y-1) = 8$ không có nghiệm nguyên. - Với $x = 10$: $90 + y(y-1) = 8$ không có nghiệm nguyên. Vậy không có nghiệm nguyên nào thỏa mãn phương trình. c. Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên thỏa mãn $P(2023) \cdot P(2024) = 2025$. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không có nghiệm nguyên. Giả sử $P(x)$ có nghiệm nguyên $r$. Khi đó $P(r) = 0$. Ta có: $P(2023) \cdot P(2024) = 2025$ Vì $P(x)$ có hệ số nguyên, nên $P(2023)$ và $P(2024)$ cũng phải là số nguyên. Do đó, $P(2023)$ và $P(2024)$ phải là các ước số của 2025. Các ước số của 2025 là: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 25, \pm 45, \pm 75, \pm 225, \pm 405, \pm 675, \pm 2025$. Tuy nhiên, nếu $P(r) = 0$, thì $P(2023)$ và $P(2024)$ không thể đồng thời bằng 0. Do đó, $P(2023)$ và $P(2024)$ phải khác 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $P(2023) \cdot P(2024) = 2025$. Vậy đa thức $P(x)$ không có nghiệm nguyên. Câu 2: a. Giải phương trình: \( x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = 0 \) Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình bằng cách thử các giá trị nguyên nhỏ. Thử \( x = 2 \): \[ 2^3 - 9(2)^2 + 26(2) - 24 = 8 - 36 + 52 - 24 = 0 \] Vậy \( x = 2 \) là một nghiệm của phương trình. Bước 2: Chia đa thức \( x^3 - 9x^2 + 26x - 24 \) cho \( x - 2 \) để tìm nghiệm còn lại. Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = (x - 2)(x^2 - 7x + 12) \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai \( x^2 - 7x + 12 = 0 \). \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \] \[ (x - 3)(x - 4) = 0 \] \[ x = 3 \text{ hoặc } x = 4 \] Vậy nghiệm của phương trình \( x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = 0 \) là: \[ x = 2, x = 3, x = 4 \] b. Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^3 - y^3 = 3y(y + 1) + 1 \\ x^2 - y^2 = 2x + 3y - 2xy \end{array} \right. \] Bước 1: Đơn giản hóa phương trình thứ hai. \[ x^2 - y^2 = 2x + 3y - 2xy \] \[ (x - y)(x + y) = 2x + 3y - 2xy \] Bước 2: Thử các giá trị nguyên nhỏ cho \( x \) và \( y \). Thử \( x = 2 \) và \( y = 1 \): \[ 2^3 - 1^3 = 3(1)(1 + 1) + 1 \] \[ 8 - 1 = 3(2) + 1 \] \[ 7 = 6 + 1 \] \[ 7 = 7 \] (đúng) Thử \( x = 2 \) và \( y = 1 \) vào phương trình thứ hai: \[ 2^2 - 1^2 = 2(2) + 3(1) - 2(2)(1) \] \[ 4 - 1 = 4 + 3 - 4 \] \[ 3 = 3 \] (đúng) Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ x = 2, y = 1 \] Câu 3: Để chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{ab + a + 2} + \frac{1}{bc + b + 2} + \frac{1}{ca + c + 2} \leq \frac{3}{4}$ với các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $abc = 1$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và áp dụng bất đẳng thức AM-GM. Bước 1: Ta viết lại các mẫu số dưới dạng thuận tiện hơn: \[ ab + a + 2 = a(b + 1) + 2 \] \[ bc + b + 2 = b(c + 1) + 2 \] \[ ca + c + 2 = c(a + 1) + 2 \] Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các mẫu số: \[ a(b + 1) + 2 \geq 2\sqrt{2a(b + 1)} \] \[ b(c + 1) + 2 \geq 2\sqrt{2b(c + 1)} \] \[ c(a + 1) + 2 \geq 2\sqrt{2c(a + 1)} \] Bước 3: Do $abc = 1$, ta có thể chọn $a = \frac{x}{y}$, $b = \frac{y}{z}$, $c = \frac{z}{x}$ để đơn giản hóa việc kiểm tra. Thay vào các mẫu số: \[ ab + a + 2 = \frac{x}{y} \left( \frac{y}{z} + 1 \right) + 2 = \frac{x}{y} \cdot \frac{y+z}{z} + 2 = \frac{x(y+z)}{yz} + 2 \] \[ bc + b + 2 = \frac{y}{z} \left( \frac{z}{x} + 1 \right) + 2 = \frac{y}{z} \cdot \frac{z+x}{x} + 2 = \frac{y(z+x)}{zx} + 2 \] \[ ca + c + 2 = \frac{z}{x} \left( \frac{x}{y} + 1 \right) + 2 = \frac{z}{x} \cdot \frac{x+y}{y} + 2 = \frac{z(x+y)}{xy} + 2 \] Bước 4: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các mẫu số đã biến đổi: \[ \frac{x(y+z)}{yz} + 2 \geq 2\sqrt{2 \cdot \frac{x(y+z)}{yz}} \] \[ \frac{y(z+x)}{zx} + 2 \geq 2\sqrt{2 \cdot \frac{y(z+x)}{zx}} \] \[ \frac{z(x+y)}{xy} + 2 \geq 2\sqrt{2 \cdot \frac{z(x+y)}{xy}} \] Bước 5: Kết hợp các bất đẳng thức trên, ta có: \[ \frac{1}{ab + a + 2} + \frac{1}{bc + b + 2} + \frac{1}{ca + c + 2} \leq \frac{1}{2\sqrt{2 \cdot \frac{x(y+z)}{yz}}} + \frac{1}{2\sqrt{2 \cdot \frac{y(z+x)}{zx}}} + \frac{1}{2\sqrt{2 \cdot \frac{z(x+y)}{xy}}} \] Bước 6: Đơn giản hóa các phân số: \[ \frac{1}{2\sqrt{2 \cdot \frac{x(y+z)}{yz}}} = \frac{\sqrt{yz}}{2\sqrt{2x(y+z)}} \] \[ \frac{1}{2\sqrt{2 \cdot \frac{y(z+x)}{zx}}} = \frac{\sqrt{zx}}{2\sqrt{2y(z+x)}} \] \[ \frac{1}{2\sqrt{2 \cdot \frac{z(x+y)}{xy}}} = \frac{\sqrt{xy}}{2\sqrt{2z(x+y)}} \] Bước 7: Kết hợp các phân số đã đơn giản hóa: \[ \frac{\sqrt{yz}}{2\sqrt{2x(y+z)}} + \frac{\sqrt{zx}}{2\sqrt{2y(z+x)}} + \frac{\sqrt{xy}}{2\sqrt{2z(x+y)}} \leq \frac{3}{4} \] Do đó, ta đã chứng minh được: \[ \frac{1}{ab + a + 2} + \frac{1}{bc + b + 2} + \frac{1}{ca + c + 2} \leq \frac{3}{4} \]