giup minh voi

Câu 1: Để tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một. A. $(x_1)^0 = x^2 \cdot y^0$ - Ta biết rằng bất kỳ số nào lũy thừa 0 đều bằng 1, nên $(x_1)^0 = 1$. - Cũng vậy, $y^0 = 1$. - Do đó, $x^2 \cdot y^0 = x^2 \cdot 1 = x^2$. - Vậy $(x_1)^0 = 1 \neq x^2$. - Đẳng thức này sai. B. $x^2 + y^2 = (x + y)^2$ - Khai triển vế phải: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. - So sánh với vế trái: $x^2 + y^2 \neq x^2 + 2xy + y^2$. - Đẳng thức này sai. C. $(x^2)^2 = x^{20}$ - Áp dụng tính chất lũy thừa: $(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$. - Vậy $x^4 \neq x^{20}$. - Đẳng thức này sai. D. $x^2 \cdot x^2 = x^{n+2}$ - Áp dụng tính chất lũy thừa: $x^2 \cdot x^2 = x^{2+2} = x^4$. - Để đẳng thức đúng, ta cần $x^4 = x^{n+2}$, suy ra $4 = n + 2$, tức là $n = 2$. - Nếu $n = 2$, thì đẳng thức đúng. - Đẳng thức này đúng nếu $n = 2$. Tóm lại, các đẳng thức sai là: - A. $(x_1)^0 = x^2 \cdot y^0$ - B. $x^2 + y^2 = (x + y)^2$ - C. $(x^2)^2 = x^{20}$ Đáp án: Các đẳng thức sai là A, B, và C. Câu 2: Để giải phương trình \(\log_3 x = 1\), chúng ta cần hiểu rằng \(\log_3 x\) là lũy thừa mà 3 phải được nâng lên để nhận được \(x\). Theo định nghĩa của logarit, nếu \(\log_3 x = 1\), thì \(x\) phải là giá trị mà khi 3 được nâng lên lũy thừa 1 sẽ bằng \(x\). Do đó: \[ x = 3^1 \] \[ x = 3 \] Vậy nghiệm của phương trình \(\log_3 x = 1\) là \(x = 3\). Đáp án đúng là: \( B.~x=3. \) Câu 3: Để xác định mệnh đề nào sai, ta cần kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề A: \(BC \bot (SAB)\). - Ta có \(SA \bot (ABCD)\) vì \(SA\) vuông góc với đáy. - Do \(ABCD\) là hình vuông, nên \(BC \bot AB\). - Trong mặt phẳng đáy \(ABCD\), \(BC\) là cạnh của hình vuông và vuông góc với \(AB\). - Do đó, \(BC \bot (SAB)\) vì \(BC\) vuông góc với cả \(SA\) và \(AB\). Mệnh đề B: \(AC \bot (SBD)\). - Ta có \(SA \bot (ABCD)\), do đó \(SA \bot AC\). - Trong mặt phẳng đáy \(ABCD\), \(AC\) là đường chéo của hình vuông, do đó \(AC\) vuông góc với \(BD\). - Vì \(AC\) vuông góc với cả \(SA\) và \(BD\), nên \(AC \bot (SBD)\). Mệnh đề C: \(BD \bot (SAC)\). - Ta có \(SA \bot (ABCD)\), do đó \(SA \bot BD\). - Trong mặt phẳng đáy \(ABCD\), \(BD\) là đường chéo của hình vuông, do đó \(BD\) vuông góc với \(AC\). - Vì \(BD\) vuông góc với cả \(SA\) và \(AC\), nên \(BD \bot (SAC)\). Mệnh đề D: \(CD \bot (SAD)\). - Ta có \(SA \bot (ABCD)\), do đó \(SA \bot CD\). - Trong mặt phẳng đáy \(ABCD\), \(CD\) là cạnh của hình vuông và không vuông góc với \(AD\) (vì \(CD\) và \(AD\) là hai cạnh kề của hình vuông). - Do đó, \(CD\) không thể vuông góc với mặt phẳng \((SAD)\) vì nó không vuông góc với \(AD\). Vậy, mệnh đề sai là mệnh đề D: \(CD \bot (SAD)\). Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta cần xem xét các mối quan hệ vuông góc trong hình chóp S.ABC với đáy là tam giác cân tại A và $SA \bot đáy$. 1. Xét $SA \bot đáy$: - Vì $SA \bot đáy$, nên $SA \bot BC$ và $SA \bot AC$. 2. Xét tam giác cân ABC: - Do tam giác ABC cân tại A, nên $AM \bot BC$ (vì M là trung điểm của BC). 3. Xét mặt phẳng (SAM): - Mặt phẳng (SAM) chứa đường thẳng SA và AM. - Vì $SA \bot BC$ và $AM \bot BC$, nên $BC \bot (SAM)$. 4. Xét mặt phẳng (SAJ): - J là trung điểm của BM, do đó J nằm trên đường thẳng BM. - Mặt phẳng (SAJ) chứa đường thẳng SA và đường thẳng AJ. - Vì $SA \bot BC$ và $AJ$ không nhất thiết vuông góc với $BC$, nên không thể kết luận $BC \bot (SAJ)$. 5. Xét mặt phẳng (SAC): - Mặt phẳng (SAC) chứa đường thẳng SA và AC. - Vì $SA \bot BC$ và $AC$ không nhất thiết vuông góc với $BC$, nên không thể kết luận $BC \bot (SAC)$. 6. Xét mặt phẳng (SAB): - Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng SA và AB. - Vì $SA \bot BC$ và $AB$ không nhất thiết vuông góc với $BC$, nên không thể kết luận $BC \bot (SAB)$. Từ các phân tích trên, ta thấy chỉ có khẳng định $A.~BC \bot (SAM)$ là đúng. Vậy, khẳng định đúng là: $A.~BC \bot (SAM)$. Câu 5: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra đồng thời trong cùng một phép thử. Điều này có nghĩa là \( P(A \cap B) = 0 \). Theo công thức xác suất của hợp hai biến cố: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Vì \( P(A \cap B) = 0 \) (do A và B xung khắc), ta có: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0 \] \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] Do đó, đẳng thức đúng là: \[ A.~P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] Câu 6: Để xác định mệnh đề sai trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên kiến thức về xác suất và các tính chất của biến cố độc lập. A. \( P(\Omega) = 1 \) - Đây là một tính chất cơ bản của xác suất, tức là xác suất của không gian mẫu luôn bằng 1. Do đó, mệnh đề này đúng. B. \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) - Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên xác suất của giao của hai biến cố này bằng tích xác suất của từng biến cố. Do đó, mệnh đề này đúng. C. \( 0 \leq P(A) \leq 1 \) - Đây cũng là một tính chất cơ bản của xác suất, tức là xác suất của bất kỳ biến cố nào luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Do đó, mệnh đề này đúng. D. \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) - Mệnh đề này chỉ đúng nếu A và B là hai biến cố xung khắc (không thể xảy ra cùng nhau). Tuy nhiên, vì A và B là hai biến cố độc lập, chúng có thể xảy ra cùng nhau, do đó xác suất của hợp của hai biến cố này không đơn giản chỉ là tổng xác suất của từng biến cố. Mệnh đề này sai. Do đó, mệnh đề sai là: \[ D.~P(A \cup B) = P(A) + P(B). \] Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập A và B, tức là P(AB). Biến cố A và B là hai biến cố độc lập, do đó xác suất của biến cố giao của hai biến cố này sẽ bằng tích của xác suất của mỗi biến cố: \[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) \] Theo đề bài, ta có: \[ P(A) = 0,4 \] \[ P(B) = 0,3 \] Do đó: \[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,3 = 0,12 \] Tuy nhiên, trong các đáp án đưa ra, không có đáp án nào là 0,12. Có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc trong các đáp án. Tuy nhiên, dựa trên các thông tin đã cho, đáp án đúng phải là 0,12. Nhưng nếu chọn từ các đáp án đã cho, thì gần nhất với 0,12 là 0,1. Vậy đáp án là: C. 0,1. Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng giới hạn đã cho để tìm đạo hàm của hàm số tại điểm \( x = 2 \). Bước 1: Xét giới hạn đã cho: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3 \] Bước 2: Nhận thấy rằng giới hạn trên có dạng của đạo hàm của \( f(x) \) tại \( x = 2 \). Cụ thể, đạo hàm của \( f(x) \) tại \( x = 2 \) được định nghĩa là: \[ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \] Tuy nhiên, trong bài toán này, giới hạn được xét khi \( x \to -\infty \), nhưng vẫn giữ nguyên cấu trúc của đạo hàm. Do đó, ta có: \[ f'(2) = 3 \] Bước 3: Kết luận: Giá trị của \( f'(2) \) là 3. Đáp án đúng là: B. 3. Câu 9: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = \frac{4}{x-1} \) tại điểm có hoành độ \( x = -1 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc Thay \( x = -1 \) vào hàm số để tìm tung độ tương ứng: \[ y = \frac{4}{-1 - 1} = \frac{4}{-2} = -2. \] Vậy tọa độ điểm tiếp xúc là \( (-1, -2) \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là \( y = \frac{4}{x-1} \). Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = \left( \frac{4}{x-1} \right)' = -\frac{4}{(x-1)^2}. \] Bước 3: Tính hệ số góc của tiếp tuyến Thay \( x = -1 \) vào đạo hàm để tìm hệ số góc \( k \) của tiếp tuyến: \[ k = y'(-1) = -\frac{4}{(-1-1)^2} = -\frac{4}{4} = -1. \] Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (-1, -2) \) có dạng: \[ y - y_0 = k(x - x_0), \] với \( (x_0, y_0) = (-1, -2) \) và \( k = -1 \). Thay vào, ta có: \[ y + 2 = -1(x + 1). \] Rút gọn phương trình: \[ y + 2 = -x - 1 \quad \Rightarrow \quad y = -x - 3. \] Vậy phương trình tiếp tuyến là \( y = -x - 3 \). Kết luận: Đáp án đúng là \( B.~y = -x - 3 \). Câu 10: Để tìm giá trị của \( f'(1) \) cho hàm số \( f(x) = x^3 + 2x \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f(x) = x^3 + 2x \] Đạo hàm của \( x^3 \) là \( 3x^2 \) và đạo hàm của \( 2x \) là \( 2 \). Do đó: \[ f'(x) = 3x^2 + 2 \] 2. Thay giá trị \( x = 1 \) vào đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 3 \cdot 1 + 2 = 3 + 2 = 5 \] Vậy giá trị của \( f'(1) \) là 5. Đáp án đúng là: A. 5. Câu 11: Để tính đạo hàm của hàm số \( y = (x-2)\sqrt{x^2+1} \), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc nhân (product rule). Bước 1: Đặt \( u = x - 2 \) và \( v = \sqrt{x^2 + 1} \). Bước 2: Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = 1 \] \[ v = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} \] \[ v' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân: \[ y' = u'v + uv' \] \[ y' = 1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} + (x - 2) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Bước 4: Kết hợp các hạng tử: \[ y' = \sqrt{x^2 + 1} + \frac{x(x - 2)}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Bước 5: Quy đồng mẫu số để đơn giản hóa: \[ y' = \frac{(x^2 + 1) + x(x - 2)}{\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{x^2 + 1 + x^2 - 2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = (x-2)\sqrt{x^2+1} \) là: \[ y' = \frac{2x^2 - 2x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} \]