Giải phương trình sau: $\frac{1}{2011x+1}-\frac{1}{2012x+2}=\frac{1}{2013x+4}-\frac{1}{2014x+5}$

Điều kiện xác định: \( x \neq -\frac{1}{2011}, x \neq -\frac{2}{2012}, x \neq -\frac{4}{2013}, x \neq -\frac{5}{2014} \) Ta có phương trình: \[ \frac{1}{2011x+1} - \frac{1}{2012x+2} = \frac{1}{2013x+4} - \frac{1}{2014x+5} \] Nhân chéo để loại bỏ mẫu số: \[ \frac{(2012x+2) - (2011x+1)}{(2011x+1)(2012x+2)} = \frac{(2014x+5) - (2013x+4)}{(2013x+4)(2014x+5)} \] Rút gọn tử số: \[ \frac{x+1}{(2011x+1)(2012x+2)} = \frac{x+1}{(2013x+4)(2014x+5)} \] Do \( x+1 \) xuất hiện ở cả hai vế, ta xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: \( x+1 = 0 \) \[ x = -1 \] Kiểm tra điều kiện xác định, \( x = -1 \) thỏa mãn. - Trường hợp 2: \( x+1 \neq 0 \) Ta có: \[ \frac{1}{(2011x+1)(2012x+2)} = \frac{1}{(2013x+4)(2014x+5)} \] Suy ra: \[ (2011x+1)(2012x+2) = (2013x+4)(2014x+5) \] Mở rộng và rút gọn: \[ 2011 \cdot 2012 x^2 + 2011 \cdot 2 + 2012 x + 2 = 2013 \cdot 2014 x^2 + 2013 \cdot 5 + 2014 x + 4 \] \[ 2011 \cdot 2012 x^2 + 4022 + 2012 x + 2 = 2013 \cdot 2014 x^2 + 10065 + 2014 x + 4 \] \[ 2011 \cdot 2012 x^2 + 2012 x + 4024 = 2013 \cdot 2014 x^2 + 2014 x + 10069 \] Chuyển tất cả sang một vế: \[ 2011 \cdot 2012 x^2 + 2012 x + 4024 - 2013 \cdot 2014 x^2 - 2014 x - 10069 = 0 \] \[ (2011 \cdot 2012 - 2013 \cdot 2014) x^2 + (2012 - 2014) x + (4024 - 10069) = 0 \] \[ (-2) x^2 - 2 x - 6045 = 0 \] \[ -2 x^2 - 2 x - 6045 = 0 \] \[ 2 x^2 + 2 x + 6045 = 0 \] Phương trình này vô nghiệm vì \( 2 x^2 + 2 x + 6045 \) luôn dương. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -1 \]