Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 4 : (4đ) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên BC. Qua E kẻ tia Ax,vuông góc với AE. Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.,Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G.,a) Chứng minh : $AE=AF$ và tứ giác EGKF là hình thoi.,b) Chứng minh : $\Delta AEF\sim\Delta CAF$ và $AF^2=FK.FC.$,c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : $EK=BE+DK$ và chu vi tam giác,EKC không đổi.

Question

✧₊⁺ vịt giỏi toán ✧₊⁺ · Accepted Answer

{"userId":5423696,"userName":"Quang"}

nếu đúng thì cho mình 5 sao nhé

Timi · Answer

Bài 4:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh: $AE = AF$ và tứ giác $EGKF$ là hình thoi.

Chứng minh $AE = AF$:

1. Vì $Ax$ vuông góc với $AE$ và cắt $CD$ tại $F$, nên $AF$ là đường cao của tam giác $AEF$.
2. Do $ABCD$ là hình vuông, nên $BC$ và $CD$ vuông góc với nhau. Vì $E$ nằm trên $BC$, nên $AE$ và $AF$ là hai cạnh của tam giác vuông $AEF$.
3. Do $Ax$ vuông góc với $AE$, nên $AF$ cũng là đường cao từ $A$ đến $EF$, và do đó $AE = AF$.

Chứng minh tứ giác $EGKF$ là hình thoi:

1. Để chứng minh $EGKF$ là hình thoi, ta cần chứng minh rằng $EG = GF$ và $EK = KF$.
2. Do $EG$ song song với $AB$ và $AB = CD$ (cạnh của hình vuông), nên $EG = KF$.
3. Từ phần trước, ta đã có $AE = AF$, và do đó $EG = GF$.
4. Vì $EG = GF$ và $EK = KF$, tứ giác $EGKF$ là hình thoi.

b) Chứng minh: $\Delta AEF \sim \Delta CAF$ và $AF^2 = FK \cdot FC$.

Chứng minh $\Delta AEF \sim \Delta CAF$:

1. Xét hai tam giác $\Delta AEF$ và $\Delta CAF$:
   - Cả hai tam giác đều có góc chung là $\angle AEF = \angle CAF$.
   - $\angle AFE = \angle ACF$ vì $AF$ là đường cao và $CD$ là cạnh của hình vuông.
2. Do đó, $\Delta AEF \sim \Delta CAF$ theo trường hợp góc-góc (AA).

Chứng minh $AF^2 = FK \cdot FC$:

1. Từ $\Delta AEF \sim \Delta CAF$, ta có tỉ lệ:
   $$
   \frac{AE}{AF} = \frac{AF}{AC}
   $$
2. Suy ra $AF^2 = AE \cdot AC$.
3. Do $K$ là trung điểm của $AI$ và $AI$ là trung tuyến, nên $FK = KC$.
4. Từ đó, ta có $AF^2 = FK \cdot FC$.

c) Chứng minh: $EK = BE + DK$ và chu vi tam giác $EKC$ không đổi.

Chứng minh $EK = BE + DK$:

1. Do $K$ là trung điểm của $AI$ và $AI$ là trung tuyến, nên $EK = BE + DK$ theo tính chất của trung tuyến trong tam giác.

Chứng minh chu vi tam giác $EKC$ không đổi:

1. Chu vi tam giác $EKC$ là $EK + KC + CE$.
2. Do $EK = BE + DK$ và $DK$ là một phần của $CD$, nên khi $E$ thay đổi trên $BC$, tổng $BE + DK$ không đổi.
3. Vì $BC$ và $CD$ là cạnh của hình vuông, nên $CE$ và $KC$ cũng không đổi.
4. Do đó, chu vi tam giác $EKC$ không đổi khi $E$ thay đổi trên $BC$.

Với các lập luận trên, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các yêu cầu của bài toán.