Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 5: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý hàm số sin trong tam giác. Cho tam giác \( ABC \) với \(\widehat A = 2\widehat B\), \( AC = 9 \, \text{cm} \), và \( BC = 12 \, \text{cm} \). Theo định lý hàm số sin, ta có: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \] Vì \(\widehat A = 2\widehat B\), ta có thể đặt \(\widehat B = x\) thì \(\widehat A = 2x\). Do đó, tổng ba góc trong tam giác là \(180^\circ\), ta có: \[ 2x + x + \widehat C = 180^\circ \] Suy ra: \[ \widehat C = 180^\circ - 3x \] Áp dụng định lý hàm số sin, ta có: \[ \frac{9}{\sin x} = \frac{12}{\sin 2x} \] Sử dụng công thức \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), ta có: \[ \frac{9}{\sin x} = \frac{12}{2 \sin x \cos x} \] Rút gọn, ta được: \[ 9 = \frac{12}{2 \cos x} \] Suy ra: \[ 18 \cos x = 12 \] \[ \cos x = \frac{2}{3} \] Bây giờ, ta cần tính \(\sin x\) bằng cách sử dụng công thức lượng giác \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \sin^2 x = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \] \[ \sin x = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \] Bây giờ, ta tính \(\sin 2x\): \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{9} \] Áp dụng định lý hàm số sin cho \(AB\): \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{12}{\sin 2x} \] \[ AB = \frac{12 \times \sin C}{\sin 2x} \] Với \(\sin C = \sin(180^\circ - 3x) = \sin 3x\). Sử dụng công thức \(\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x\): \[ \sin 3x = 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3} - 4 \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^3 \] \[ = \sqrt{5} - 4 \times \frac{5\sqrt{5}}{27} \] \[ = \sqrt{5} - \frac{20\sqrt{5}}{27} \] \[ = \frac{27\sqrt{5} - 20\sqrt{5}}{27} \] \[ = \frac{7\sqrt{5}}{27} \] Do đó: \[ AB = \frac{12 \times \frac{7\sqrt{5}}{27}}{\frac{4\sqrt{5}}{9}} \] \[ = \frac{12 \times 7\sqrt{5} \times 9}{27 \times 4\sqrt{5}} \] \[ = \frac{756\sqrt{5}}{108\sqrt{5}} \] \[ = \frac{756}{108} \] \[ = 7 \] Vậy độ dài \(AB\) là \(7 \, \text{cm}\).