Giúp mình với!

BÀI 1: Để giải quyết các bài toán liên quan đến căn bậc hai và căn bậc ba, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức đã học ở chương III. Dưới đây là các bước giải chi tiết cho từng dạng bài tập. Bài Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = 4 - \sqrt{x} \) với \( x \geq 0 \). Giải: - Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \). - Ta có \( \sqrt{x} \geq 0 \), do đó \( 4 - \sqrt{x} \leq 4 \). - Giá trị lớn nhất của \( A \) là 4, đạt được khi \( x = 0 \). Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \) với \( x > 0 \). Giải: - Điều kiện xác định: \( x > 0 \). - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2 \sqrt{\sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}} = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là 2, đạt được khi \( \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \) hay \( x = 1 \). Bài Tập 2: Giải phương trình chứa căn bậc hai Bài 3: Giải phương trình \( \sqrt{x + 3} = 5 \). Giải: - Điều kiện xác định: \( x + 3 \geq 0 \) hay \( x \geq -3 \). - Bình phương hai vế: \( x + 3 = 25 \). - Giải phương trình: \( x = 22 \). - Kiểm tra điều kiện: \( x = 22 \) thỏa mãn điều kiện \( x \geq -3 \). - Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 22 \). Bài 4: Giải phương trình \( \sqrt{x^2 - 4} = x - 2 \). Giải: - Điều kiện xác định: \( x^2 - 4 \geq 0 \) hay \( x \geq 2 \) hoặc \( x \leq -2 \). - Bình phương hai vế: \( x^2 - 4 = (x - 2)^2 \). - Khai triển và rút gọn: \( x^2 - 4 = x^2 - 4x + 4 \). - Chuyển vế và rút gọn: \( 4x = 8 \). - Giải phương trình: \( x = 2 \). - Kiểm tra điều kiện: \( x = 2 \) thỏa mãn điều kiện \( x \geq 2 \). - Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 2 \). Bài Tập 3: Giải hệ phương trình chứa căn bậc hai Bài 5: Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} \] Giải: - Đặt \( u = \sqrt{x} \) và \( v = \sqrt{y} \). - Hệ phương trình trở thành: \[ \begin{cases} u + v = 5 \\ u - v = 1 \end{cases} \] - Cộng hai phương trình: \( 2u = 6 \) hay \( u = 3 \). - Thay \( u = 3 \) vào \( u + v = 5 \): \( 3 + v = 5 \) hay \( v = 2 \). - Vậy \( \sqrt{x} = 3 \) và \( \sqrt{y} = 2 \). - Do đó \( x = 9 \) và \( y = 4 \). - Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (9, 4) \). Bài Tập 4: Giải phương trình chứa căn bậc ba Bài 6: Giải phương trình \( \sqrt[3]{x + 1} = 2 \). Giải: - Điều kiện xác định: \( x + 1 \) có thể là bất kỳ số thực nào. - Lập phương hai vế: \( x + 1 = 8 \). - Giải phương trình: \( x = 7 \). - Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 7 \). Bài 7: Giải phương trình \( \sqrt[3]{x^2 - 4} = x - 2 \). Giải: - Điều kiện xác định: \( x^2 - 4 \) có thể là bất kỳ số thực nào. - Lập phương hai vế: \( x^2 - 4 = (x - 2)^3 \). - Khai triển và rút gọn: \( x^2 - 4 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \). - Chuyển vế và rút gọn: \( x^3 - 7x^2 + 12x - 4 = 0 \). - Giải phương trình: \( x = 2 \) (thử trực tiếp). - Kiểm tra điều kiện: \( x = 2 \) thỏa mãn điều kiện. - Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 2 \). Hy vọng các bài giải trên đây sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán liên quan đến căn bậc hai và căn bậc ba. Bài 1: a) Ta có: $\sqrt{2}< \sqrt{4}=2.$ Suy ra $\sqrt{2}+1< 2+1=3.$ Vậy $\sqrt{2}+1< 3.$ Mặt khác, ta lại có $2< 3.$ Do đó $2< \sqrt{2}+1.$ b) Ta có $\sqrt{3}>\sqrt{1}=1.$ Suy ra $\sqrt{3}-1>1-1=0.$ Vậy $\sqrt{3}-1>0.$ Mặt khác, ta lại có $1>0.$ Do đó $1>\sqrt{3}-1.$ c) Ta có $(2\sqrt{3})^{2}=12.$ Ta lại có $10^{2}=100.$ Vì $12< 100$ nên $2\sqrt{3}< 10.$ d) Ta có $(-3\sqrt{11})^{2}=99.$ Ta lại có $(-12)^{2}=144.$ Vì $99< 144$ nên $-3\sqrt{11}>-12.$ Bài 2: 1. a) $\frac{2}{3}\sqrt{81}-\frac{1}{2}\sqrt{16}=\frac{2}{3}.9-\frac{1}{2}.4=6-2=4$ b) $0,5\sqrt{0,04}+5\sqrt{0,36}=0,5.0,2+5.0,6=0,1+3=3,1$ c) $\frac{2}{5}\sqrt{25}-\frac{1}{2}\sqrt{4}=\frac{2}{5}.5-\frac{1}{2}.2=2-1=1$ d) $0,2\sqrt{0,09}+2\sqrt{0,81}=0,2.0,3+2.0,9=0,06+1,8=1,86$ e) $\frac{2}{5}\sqrt{\frac{25}{16}}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{5}.\frac{5}{4}-\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ f) $-4\sqrt{\frac{-25}{-16}}+5\sqrt{-\frac{-9}{25}}=-4.\frac{5}{4}+5.\frac{3}{5}=-5+3=-2$ 2. a) $2\sqrt[3]{27}-3\sqrt[3]{8}+4\sqrt[3]{125}=2.3-3.2+4.5=6-6+20=20$ b) $\sqrt[3]{-27}+\sqrt[3]{64}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{1000}=-3+4-\frac{1}{3}.10=1-\frac{10}{3}=-\frac{7}{3}$ c) $\sqrt[3]{-27}-\sqrt[3]{64}+\sqrt[3]{216}=-3-4+6=-1$ d) $\sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{-8}-\frac{1}{5}\sqrt[3]{-125}=3-(-2)-\frac{1}{5}.(-5)=3+2+1=6$ Bài 3: a) Ta có $\sqrt{(4-\sqrt{15})^2}+\sqrt{15}=|4-\sqrt{15}|+\sqrt{15}$. Vì $4>\sqrt{15}$ nên $|4-\sqrt{15}|=4-\sqrt{15}$. Do đó $\sqrt{(4-\sqrt{15})^2}+\sqrt{15}=4-\sqrt{15}+\sqrt{15}=4$. b) Ta có $\sqrt{(2\sqrt2-3)^2}+2\sqrt2=|2\sqrt2-3|+2\sqrt2$. Vì $2\sqrt2< 3$ nên $|2\sqrt2-3|=3-2\sqrt2$. Do đó $\sqrt{(2\sqrt2-3)^2}+2\sqrt2=3-2\sqrt2+2\sqrt2=3$. c) Ta có $\sqrt{(\sqrt{10}-3)^2}-\sqrt{10}=|\sqrt{10}-3|-\sqrt{10}$. Vì $\sqrt{10}>3$ nên $|\sqrt{10}-3|=\sqrt{10}-3$. Do đó $\sqrt{(\sqrt{10}-3)^2}-\sqrt{10}=\sqrt{10}-3-\sqrt{10}=-3$. d) Ta có $\sqrt{(\sqrt7-1)^2}-\sqrt7=|\sqrt7-1|-\sqrt7$. Vì $\sqrt7>1$ nên $|\sqrt7-1|=\sqrt7-1$. Do đó $\sqrt{(\sqrt7-1)^2}-\sqrt7=\sqrt7-1-\sqrt7=-1$. e) Ta có $\sqrt{(\sqrt{10}-3)^2}+\sqrt{(\sqrt{10}-4)^2}=|\sqrt{10}-3|+|\sqrt{10}-4|$. Vì $\sqrt{10}>4$ nên $|\sqrt{10}-3|=\sqrt{10}-3$ và $|\sqrt{10}-4|=\sqrt{10}-4$. Do đó $\sqrt{(\sqrt{10}-3)^2}+\sqrt{(\sqrt{10}-4)^2}=\sqrt{10}-3+\sqrt{10}-4=2\sqrt{10}-7$. Bài 4: a) Ta có: \[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}. \] b) Ta có: \[ \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1. \] c) Ta có: \[ \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = |3 - \sqrt{2}| = 3 - \sqrt{2}. \] d) Ta có: \[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2. \] e) Ta có: \[ \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - 1)^2} = |\sqrt{7} - 1| = \sqrt{7} - 1. \] f) Ta có: \[ \sqrt{7 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} = |3 + \sqrt{2}| = 3 + \sqrt{2}. \] Bài 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh các điểm A, C, O, N cùng thuộc một đường tròn, chỉ rõ tâm K và bán kính của đường tròn này. Để chứng minh các điểm A, C, O, N cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác ACNO là tứ giác nội tiếp. - Ta có \(ON \perp BC\) (do \(b \perp BC\) tại C và N thuộc b). - Ta cũng có \(OA \perp AN\) (do \(c \perp OA\) tại A và N thuộc c). Vì \(ON \perp BC\) và \(OA \perp AN\), nên góc \(ONA = 90^\circ\). - Tương tự, trong tam giác vuông ABC, ta có \(AC \perp AB\), do đó góc \(ACO = 90^\circ\). Vì \(ONA = 90^\circ\) và \(ACO = 90^\circ\), nên tứ giác ACNO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AO. - Tâm K của đường tròn này là trung điểm của đoạn thẳng AO, và bán kính là \( \frac{AO}{2} \). b) Chứng minh tứ giác ADOE là hình chữ nhật và \(AM \cdot AN = \frac{BC^2}{4}\). - Để chứng minh tứ giác ADOE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các góc của tứ giác này đều là góc vuông. 1. Ta đã có \(OD \perp AB\) (vì D là giao điểm của OM và AB, và OM \(\perp\) AB do M thuộc a và a \(\perp\) BC tại B). 2. Tương tự, \(OE \perp AC\) (vì E là giao điểm của ON và AC, và ON \(\perp\) AC do N thuộc b và b \(\perp\) BC tại C). - Do đó, các góc tại D và E đều là góc vuông, chứng tỏ ADOE là hình chữ nhật. - Để chứng minh \(AM \cdot AN = \frac{BC^2}{4}\), ta sử dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác vuông. 1. Vì O là trung điểm của BC, nên \(BO = OC = \frac{BC}{2}\). 2. Trong tam giác vuông ABC, đường trung tuyến AO có độ dài bằng nửa cạnh huyền BC, tức là \(AO = \frac{BC}{2}\). - Theo định lý đường trung bình trong tam giác vuông, ta có \(AM \cdot AN = AO^2 = \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = \frac{BC^2}{4}\). c) Chứng minh IH // a. - Gọi F là giao điểm của AC và đường thẳng a, I là giao điểm của OF với AB, và H là giao điểm của OM và BN. 1. Ta có \(OF \perp AC\) (vì F thuộc a và a \(\perp\) BC tại B). 2. Do đó, \(OF\) là đường cao của tam giác ACF. - Để chứng minh IH // a, ta cần chứng minh rằng IH song song với đường thẳng a. 1. Ta đã có \(OM \perp AB\) (vì M thuộc a và a \(\perp\) BC tại B). 2. Tương tự, \(BN \perp AC\) (vì N thuộc b và b \(\perp\) BC tại C). - Do đó, \(IH\) là đường trung bình của tam giác vuông BNC, và vì \(OM \perp AB\), nên IH song song với a. Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.