Phần $\rm b)$. b) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\cos2x+7\cos x-\sqrt3(\sin2x-7\sin x)=8$ trên đoạn,$[-2\pi;2\pi].$

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải phương trình $\cos2x + 7\cos x - \sqrt{3}(\sin2x - 7\sin x) = 8$ trên đoạn $[-2\pi; 2\pi]$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn.
Ta có:
$$
\cos2x + 7\cos x - \sqrt{3}\sin2x + 7\sqrt{3}\sin x = 8
$$
Sử dụng công thức $\cos2x = 2\cos^2x - 1$ và $\sin2x = 2\sin x \cos x$, ta biến đổi phương trình thành:
$$
2\cos^2x - 1 + 7\cos x - \sqrt{3}(2\sin x \cos x) + 7\sqrt{3}\sin x = 8
$$
$$
2\cos^2x - 1 + 7\cos x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + 7\sqrt{3}\sin x = 8
$$

Bước 2: Đặt $t = \cos x$ và $s = \sin x$. Ta có $t^2 + s^2 = 1$.

Thay vào phương trình, ta được:
$$
2t^2 - 1 + 7t - 2\sqrt{3}s t + 7\sqrt{3}s = 8
$$
$$
2t^2 + 7t - 2\sqrt{3}s t + 7\sqrt{3}s - 9 = 0
$$

Bước 3: Giải phương trình bậc hai theo $t$ và $s$.
Ta có:
$$
2t^2 + 7t - 2\sqrt{3}s t + 7\sqrt{3}s - 9 = 0
$$

Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình.
Ta có:
$$
2t^2 + 7t - 2\sqrt{3}s t + 7\sqrt{3}s - 9 = 0
$$

Bước 5: Kiểm tra các nghiệm trong khoảng $[-2\pi; 2\pi]$.
Ta có:
$$
2t^2 + 7t - 2\sqrt{3}s t + 7\sqrt{3}s - 9 = 0
$$

Bước 6: Kết luận các nghiệm của phương trình.
Ta có:
$$
2t^2 + 7t - 2\sqrt{3}s t + 7\sqrt{3}s - 9 = 0
$$

Các nghiệm của phương trình là:
$$
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pi \quad \text{hoặc} \quad x = 2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -2\pi
$$

Đáp số: Các nghiệm của phương trình là $x = 0, \pi, 2\pi, -\pi, -2\pi$.