Cô Lan muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 72dm3 và chiều cao là 3dm, chiều dài x (dm), chiều rộng y (dm). Một vách ngăn (là mặt kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn như h...

Để giải bài toán này, chúng ta cần tối ưu hóa diện tích bề mặt của bể cá, bao gồm cả vách ngăn ở giữa, trong khi vẫn đảm bảo thể tích của bể là 72 dm³. Bước 1: Thiết lập phương trình thể tích Thể tích của bể cá được cho là 72 dm³, với chiều cao là 3 dm. Do đó, ta có phương trình: \[ V = x \cdot y \cdot 3 = 72 \] Từ đó, ta suy ra: \[ x \cdot y = 24 \] Bước 2: Biểu thức diện tích cần tối ưu hóa Diện tích bề mặt của bể cá bao gồm: - Hai mặt bên: \(2 \cdot (x \cdot 3 + y \cdot 3)\) - Đáy: \(x \cdot y\) - Vách ngăn: \(y \cdot 3\) Tổng diện tích cần tối ưu hóa là: \[ A = 2(x \cdot 3 + y \cdot 3) + x \cdot y + y \cdot 3 \] Thay \(x \cdot y = 24\) vào biểu thức trên, ta có: \[ A = 6x + 6y + 24 + 3y = 6x + 9y + 24 \] Bước 3: Tối ưu hóa diện tích Từ phương trình \(x \cdot y = 24\), ta có thể biểu diễn \(x\) theo \(y\): \[ x = \frac{24}{y} \] Thay vào biểu thức diện tích: \[ A = 6\left(\frac{24}{y}\right) + 9y + 24 \] \[ A = \frac{144}{y} + 9y + 24 \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\frac{144}{y} + 9y\). Bước 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(\frac{144}{y}\) và \(9y\): \[ \frac{144}{y} + 9y \geq 2\sqrt{\frac{144}{y} \cdot 9y} = 2\sqrt{1296} = 72 \] Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{144}{y} = 9y\), tức là: \[ 144 = 9y^2 \] \[ y^2 = 16 \] \[ y = 4 \] Khi \(y = 4\), ta có: \[ x = \frac{24}{y} = \frac{24}{4} = 6 \] Kết luận: Chiều dài \(x\) là 6 dm và chiều rộng \(y\) là 4 dm để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất.