Hộ t từ 1-17(cách giải)

Câu 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng tổng quát Ax + By = C, trong đó A, B, và C là hằng số và x, y là các biến số. A. \(15x^2 + y^2 = 9\) Đây là phương trình bậc hai của x và y, không phải phương trình bậc nhất hai ẩn. B. \(0x + y^2 = 2\) Đây là phương trình bậc hai của y, không phải phương trình bậc nhất hai ẩn. C. \(y - 0y = 1\) Phương trình này có thể viết lại thành \(y = 1\), đây là phương trình bậc nhất của y nhưng không có biến x, do đó không phải phương trình bậc nhất hai ẩn. D. \(11x - \sqrt{y} = 4\) Phương trình này có chứa căn bậc hai của y, do đó không phải phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn? Đáp án là: Không có phương trình nào trong các phương trình trên là phương trình bậc nhất hai ẩn. Câu 2: Phương trình \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) có thể được biến đổi thành phương trình tích bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử. Ta có: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phân tích đa thức \( x^2 - 4x + 3 \) thành nhân tử: \[ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \] Do đó, phương trình \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) có thể viết dưới dạng: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(x-1)(x-3)=0 \] Câu 3: Ta có: \(-5x - 15 \leq 0\) Cộng 15 vào cả hai vế: \(-5x \leq 15\) Chia cả hai vế cho -5 (chú ý đổi chiều bất phương trình): \(x \geq -3\) Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \geq -3\). Đáp án đúng là: \(\textcircled{A.~x \geq -3}\). Câu 4: Phương trình đã cho là $\frac{x^2+3}{x-3}-1=0$. Để phương trình này có nghĩa, mẫu số của phân thức $\frac{x^2+3}{x-3}$ phải khác 0. Do đó, ta có điều kiện: \[ x - 3 \neq 0 \] \[ x \neq 3 \] Vậy điều kiện xác định của phương trình là \( x \neq 3 \). Đáp án đúng là: \[ \textcircled{A.}~x \neq 3. \] Câu 5: Để rút gọn biểu thức $\sqrt{a^2(3-a)^2}$ với $a > 3$, chúng ta làm như sau: 1. Ta biết rằng $a > 3$, do đó $3 - a < 0$. 2. Biểu thức bên trong căn bậc hai là $a^2(3-a)^2$. Vì $a^2$ và $(3-a)^2$ đều là bình phương của các số thực, nên chúng luôn không âm. 3. Do đó, $\sqrt{a^2(3-a)^2} = |a(3-a)|$. 4. Vì $a > 3$, nên $3 - a < 0$, do đó $|a(3-a)| = a|3-a| = a(-(3-a)) = a(a-3)$. Vậy, $\sqrt{a^2(3-a)^2} = a(a-3)$. Đáp án đúng là: $\boxed{C.~a^2(a-3)}$. Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng biểu thức để xác định biểu thức nào có nghĩa trong điều kiện đã cho \(3 = 23 - a < 0\). Đầu tiên, ta giải bất phương trình: \[ 23 - a < 0 \] \[ 23 < a \] \[ a > 23 \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng biểu thức: A. \(\frac{3a^3}{a}\) - Điều kiện xác định: \(a \neq 0\) - Vì \(a > 23\), nên \(a \neq 0\) luôn đúng. - Biểu thức này có nghĩa. B. \(3a^2 |3|\) - Điều kiện xác định: Không có điều kiện đặc biệt nào khác ngoài \(a > 23\). - Biểu thức này có nghĩa. C. \(\frac{a^2 + 10}{b}\) - Điều kiện xác định: \(b \neq 0\) - Ta không biết giá trị của \(b\), nên không thể khẳng định chắc chắn biểu thức này có nghĩa hay không. D. \(\sqrt{3a^2 |3|_{\frac{1}{4}}}\) - Điều kiện xác định: \(3a^2 |3|_{\frac{1}{4}} \geq 0\) - Vì \(a > 23\), nên \(3a^2\) luôn dương, nhưng phần \(|3|_{\frac{1}{4}}\) không rõ ràng và phức tạp. - Biểu thức này khó xác định chắc chắn. Từ các lập luận trên, biểu thức có nghĩa chắc chắn là: A. \(\frac{3a^3}{a}\) Vậy đáp án là: \[ \boxed{A. \frac{3a^3}{a}} \] Câu 7: Biểu thức $\sqrt{61}$ là căn bậc hai của 61, tức là số dương mà bình phương của nó bằng 61. Vì 61 nằm giữa 49 (7^2) và 64 (8^2), nên $\sqrt{61}$ nằm giữa 7 và 8. Do đó, $\sqrt{61}$ không thể bằng 9 hoặc -9. Giá trị đúng của $\sqrt{61}$ là một số thực dương gần 7.81, nhưng không phải là số nguyên. Vì vậy, đáp án đúng là: A. 9 (sai) B. -9 (sai) C. 19 (sai) Do đó, không có đáp án nào trong các lựa chọn trên là đúng. Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm căn bậc hai của số "không âm". Căn bậc hai của một số không âm là một số không âm sao cho bình phương của nó bằng số ban đầu. A. \(a\): Đây là số ban đầu, nhưng không phải là căn bậc hai của nó. B. \(\sqrt{a}\): Đây là căn bậc hai dương của số \(a\), tức là số không âm sao cho bình phương của nó bằng \(a\). C. \(-\sqrt{a}\): Đây là căn bậc hai âm của số \(a\), nhưng vì chúng ta đang tìm căn bậc hai không âm, nên đây không phải là đáp án đúng. D. \(b \pm \sqrt{a},~Cb_{2,~cỏa~15}+\sqrt{3}\): Đây là các biểu thức phức tạp và không liên quan trực tiếp đến việc tìm căn bậc hai của số \(a\). Vậy, căn bậc hai của số "không âm" là \(\sqrt{a}\). Đáp án: B. \(\sqrt{a}\). Câu 9: Căn bậc hai của $(-4)^2$ là số nào mà bình phương của nó bằng $(-4)^2$. Ta có: $(-4)^2 = 16$ Căn bậc hai của 16 là 4 hoặc -4. Tuy nhiên, căn bậc hai luôn là một số không âm, do đó căn bậc hai của $(-4)^2$ là 4. Đáp án đúng là: C. 4. Câu 10: Biểu thức N $\sqrt{2-7}$ xác định khi $2-\frac{75}{2}x\geq0$. Giải bất phương trình trên ta được $x\leq 4$. Do đó, đáp án đúng là: $\textcircled{D,}~x\leq4,~2-\frac{75}{2}x$ Câu 11: Để rút gọn biểu thức $\frac{3}{3+12}-\frac{1}{2-12}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn các phân số: - Phân số đầu tiên: $\frac{3}{3+12}$ Ta có $3+12 = 15$, nên $\frac{3}{3+12} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$. - Phân số thứ hai: $\frac{1}{2-12}$ Ta có $2-12 = -10$, nên $\frac{1}{2-12} = \frac{1}{-10} = -\frac{1}{10}$. 2. Kết hợp hai phân số đã rút gọn: $\frac{1}{5} - \left(-\frac{1}{10}\right)$ Ta có $-\left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{1}{10}$, nên biểu thức trở thành: $\frac{1}{5} + \frac{1}{10}$. 3. Quy đồng mẫu số chung: Mẫu số chung của 5 và 10 là 10. Ta có: $\frac{1}{5} = \frac{2}{10}$, nên: $\frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2+1}{10} = \frac{3}{10}$. Vậy, biểu thức $\frac{3}{3+12}-\frac{1}{2-12}$ rút gọn được thành $\frac{3}{10}$. Đáp án đúng là: $\boxed{\frac{3}{10}}$. Câu 12: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần kiểm tra từng đáp án để xem đáp án nào thỏa mãn điều kiện đã cho. A. $\sqrt{\frac{a}{a}} = \frac{\sqrt{200}}{a}$ với $a \geq 0$: - Ta có $\sqrt{\frac{a}{a}} = \sqrt{1} = 1$. - Nhưng $\frac{\sqrt{200}}{a}$ không bằng 1 trừ khi $a = \sqrt{200}$, do đó đáp án này không đúng. B. $\sqrt{a} = \frac{\sqrt{10}}{a}$ với $a > 0$: - Ta có $\sqrt{a} = \frac{\sqrt{10}}{a}$. - Bình phương cả hai vế, ta được $a = \frac{10}{a}$. - Nhân cả hai vế với $a$, ta được $a^2 = 10$. - Do đó $a = \sqrt{10}$ hoặc $a = -\sqrt{10}$, nhưng vì $a > 0$, nên $a = \sqrt{10}$. - Đáp án này không đúng vì nó yêu cầu $a$ phải là một hằng số cụ thể. C. $\sqrt{a} = \frac{\sqrt{20}}{10}$ với $a > 0$: - Ta có $\sqrt{a} = \frac{\sqrt{20}}{10}$. - Bình phương cả hai vế, ta được $a = \left(\frac{\sqrt{20}}{10}\right)^2 = \frac{20}{100} = 0.2$. - Đáp án này không đúng vì nó yêu cầu $a$ phải là một hằng số cụ thể. D. $\sqrt{\frac{a}{10}} = \frac{\sqrt{200}}{100}$ với $a \geq 0$: - Ta có $\sqrt{\frac{a}{10}} = \frac{\sqrt{200}}{100}$. - Bình phương cả hai vế, ta được $\frac{a}{10} = \left(\frac{\sqrt{200}}{100}\right)^2 = \frac{200}{10000} = 0.02$. - Nhân cả hai vế với 10, ta được $a = 0.2$. - Đáp án này không đúng vì nó yêu cầu $a$ phải là một hằng số cụ thể. Do đó, không có đáp án nào trong các đáp án trên là đúng. Câu 13: Biểu thức đã cho có dạng $(a+b)(a-b)$ với $a=1+\sqrt2$ và $b=\sqrt3$. Ta có: $(1+\sqrt2+\sqrt3)(1+\sqrt2-\sqrt3) = (1+\sqrt2)^2-(\sqrt3)^2$ $= 1+2\sqrt2+(\sqrt2)^2-3$ $= 1+2\sqrt2+2-3$ $= 2\sqrt2$ Câu 14: Biểu thức $\sqrt{4-2\sqrt3}$ có dạng $\sqrt{a-2\sqrt{b}}=\sqrt{c}-\sqrt{d}$ với $c>d>0$. Ta có: $a=c+d=4$ $2\sqrt{b}=2\sqrt{cd}\Rightarrow b=cd$ Từ đây ta có $c+d=4$ và $cd=3$. Giải hệ này ta được $c=3,d=1$ hoặc $c=1,d=3$. Vì $c>d>0$ nên $c=3,d=1$. Do đó, $\sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt{3}-\sqrt{1}=\sqrt{3}-1$. Vậy $a=1,b=-1$. Ta có $a^2+b^2-2ab=1+1-2(-1)=4$. Đáp án đúng là: $B. 1$. Câu 15: Ta có: $\sqrt{9x}-\sqrt{25x}+\sqrt{49x}=3\sqrt{x}-5\sqrt{x}+7\sqrt{x}=5\sqrt{x}$ Vậy đáp án đúng là: $\textcircled{A,}~5\sqrt x$ Câu 16: Để xác định khẳng định sai, chúng ta cần xem xét các định nghĩa về các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Trong tam giác vuông, với một góc nhọn \( \alpha \), các tỉ số lượng giác được định nghĩa như sau: 1. Sin của góc \( \alpha \): Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền, kí hiệu là \( \sin \alpha \). 2. Cosin của góc \( \alpha \): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền, kí hiệu là \( \cos \alpha \). 3. Tang của góc \( \alpha \): Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề, kí hiệu là \( \tan \alpha \). 4. Cotang của góc \( \alpha \): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối, kí hiệu là \( \cot \alpha \). Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét từng khẳng định: A. Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là cosin của góc \( \alpha \), kí hiệu \( \cos \alpha \). - Khẳng định này sai vì tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền là sin của góc \( \alpha \), không phải cosin. B. Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là cosin của góc \( \alpha \), kí hiệu \( \cos \alpha \). - Khẳng định này đúng theo định nghĩa của cosin. C. Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc \( \alpha \), kí hiệu \( \tan \alpha \). - Khẳng định này đúng theo định nghĩa của tang. D. Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là cô-tang của góc \( \alpha \), kí hiệu \( \cot \alpha \). - Khẳng định này đúng theo định nghĩa của cotang. Vậy, khẳng định sai là: A. Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là cosin của góc \( \alpha \), kí hiệu \( \cos \alpha \). Câu 17: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về tam giác vuông và định lý cosin. Cái thang, mặt đất và tường tạo thành một tam giác vuông, trong đó cái thang là cạnh huyền, góc giữa cái thang và mặt đất là $60^\circ$. Gọi \( x \) là khoảng cách từ chân thang đến tường (đơn vị: mét). Theo định lý cosin trong tam giác vuông, ta có: \[ \cos(60^\circ) = \frac{x}{6} \] Biết rằng \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), ta thay vào phương trình: \[ \frac{1}{2} = \frac{x}{6} \] Giải phương trình này, ta nhân cả hai vế với 6: \[ x = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \] Vậy chân thang cách tường 3 mét. Đáp án đúng là A. 3m.