Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AM (M thuộc BC) và đường cao BE (E thuộc AC). Trên tia BA lấy điểm F sao cho BF=CE. Chứng minh ba đường thẳng BE,CF,AM cùng đi qua một điểm.

Để chứng minh ba đường thẳng BE, CF, AM cùng đi qua một điểm, ta sẽ sử dụng định lý Ceva trong tam giác. Bước 1: Xét tam giác ABC Tam giác ABC cân tại A, do đó ta có AB = AC. Bước 2: Xét các đoạn thẳng và điểm đã cho - AM là đường trung tuyến, do đó M là trung điểm của BC. - BE là đường cao, do đó BE vuông góc với AC tại E. - Trên tia BA lấy điểm F sao cho BF = CE. Bước 3: Sử dụng định lý Ceva Định lý Ceva cho biết rằng trong tam giác ABC, ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy khi và chỉ khi: \[ \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1 \] Bước 4: Tính các tỉ số - Vì M là trung điểm của BC, nên $\frac{BD}{DC} = 1$. - Do BF = CE, nên $\frac{AF}{FB} = \frac{AE}{EC}$. Bước 5: Chứng minh đồng quy Thay các tỉ số vào công thức của định lý Ceva: \[ \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1 \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AE}{EC} = 1 \] Vì biểu thức trên bằng 1, theo định lý Ceva, ba đường thẳng BE, CF, AM đồng quy tại một điểm. Như vậy, ta đã chứng minh được rằng ba đường thẳng BE, CF, AM cùng đi qua một điểm.