Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. Câu a: Cho tam giác ABC nhọn với đường cao AH. Ta có $HM \bot AB$ và $HN \bot AC$. 1. Tính độ dài đoạn thẳng HN: Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông HNC, ta có: \[ HN^2 + NC^2 = NA^2 \] Thay số vào, ta có: \[ HN^2 + 9^2 = 16^2 \] \[ HN^2 + 81 = 256 \] \[ HN^2 = 175 \] \[ HN = \sqrt{175} = 5\sqrt{7} \text{ cm} \] 2. Tính độ dài đoạn thẳng AH: Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC, ta có: \[ AH^2 + HC^2 = AC^2 \] Vì $HN = 5\sqrt{7}$ và $NC = 9$, ta có $HC = HN = 5\sqrt{7}$ (do $HN \bot AC$ và $H$ là chân đường cao). Thay vào, ta có: \[ AH^2 + (5\sqrt{7})^2 = 16^2 \] \[ AH^2 + 175 = 256 \] \[ AH^2 = 81 \] \[ AH = 9 \text{ cm} \] 3. Tính độ dài đoạn thẳng CH: Từ $HC = 5\sqrt{7}$, ta đã có độ dài của $CH$. Câu b: Chứng minh $AM \cdot AB = AN \cdot AC$. - Do $HM \bot AB$ và $HN \bot AC$, ta có: \[ \frac{AM}{AN} = \frac{AB}{AC} \] Suy ra $AM \cdot AC = AN \cdot AB$. - Từ đó, $\Delta ANM \sim \Delta ABC$ theo trường hợp góc-góc-góc (AAA). Câu c: Chứng minh $S_{\Delta AMN} = \sin^2 B \cdot \sin^2 C \cdot S_{\Delta ABC}$. - Từ $\Delta ANM \sim \Delta ABC$, ta có: \[ \frac{S_{\Delta ANM}}{S_{\Delta ABC}} = \left(\frac{AM}{AC}\right)^2 = \left(\frac{AN}{AB}\right)^2 \] Do đó, $S_{\Delta ANM} = \left(\frac{AM}{AC}\right)^2 \cdot S_{\Delta ABC}$. - Theo gợi ý, ta có: \[ \frac{AM}{AC} = \sin B \quad \text{và} \quad \frac{AN}{AB} = \sin C \] Suy ra: \[ S_{\Delta AMN} = \sin^2 B \cdot \sin^2 C \cdot S_{\Delta ABC} \] Câu d: Chứng minh rằng $MN = AH \sin A$. - Chứng minh $\Delta OMH \sim \Delta ONA$ và $\Delta OMN \sim \Delta OHA$. - Từ đó, ta có: \[ \frac{MN}{AH} = \sin A \] Suy ra: \[ MN = AH \cdot \sin A \] Vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các phần của bài toán. Bài 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a: Cho hình chữ nhật \(ABCD\) với \(AD = 9 \, \text{cm}\) và \(AB = 12 \, \text{cm}\). 1. Tính độ dài đoạn thẳng \(DH\): Trong hình chữ nhật, \(AC\) là đường chéo, do đó: \[ AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm} \] Vì \(H\) là hình chiếu của \(D\) trên \(AC\), nên \(DH\) là đường cao từ \(D\) đến \(AC\). Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \[ S_{\Delta ADC} = \frac{1}{2} \times AD \times DC = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \, \text{cm}^2 \] Diện tích này cũng có thể được tính bằng: \[ S_{\Delta ADC} = \frac{1}{2} \times AC \times DH \] Do đó: \[ 54 = \frac{1}{2} \times 15 \times DH \implies DH = \frac{108}{15} = 7.2 \, \text{cm} \] 2. Tính số đo \(\widehat{DAC}\): Sử dụng định lý cosin trong tam giác \(ADC\): \[ \cos \widehat{DAC} = \frac{AD}{AC} = \frac{9}{15} = 0.6 \] Suy ra: \[ \widehat{DAC} = \cos^{-1}(0.6) \approx 53^\circ 8' \] Phần b: Chứng minh rằng \(\left(\frac{DC}{BC}\right)^2 = \frac{CH}{AH}\). 1. Chứng minh: Ta có: \[ \frac{DC^2}{BC^2} = \frac{CH}{AH} \] Sử dụng gợi ý: \[ \frac{DC^2}{DC^2 + AC^2} = \frac{CH}{AC + CH} \] \[ \frac{DC^2}{AC^2} = \frac{CH}{AC} \] \[ \frac{DC}{CH} = \frac{AC}{DC} \] Từ đó, chứng minh ngược từ dưới lên để hoàn thành chứng minh. Phần c: Chứng minh rằng \(\frac{S_{\Delta BAC}}{S_{\Delta DAN}} = \frac{1}{\sin^2 \widehat{DAC}} + \frac{1}{\cos^2 \widehat{BDC}}\). 1. Chứng minh: Sử dụng gợi ý: \[ S_{\Delta ABC} = S_{\Delta ADC} = S_{\Delta DBA} + S_{\Delta DHC} \] Chứng minh \(\Delta DHA \sim \Delta MDN\) và \(\Delta DHC \sim \Delta NDM\). \[ \sin \widehat{DAC} = \frac{DH}{AD} = \frac{MN}{AD} \] \[ \cos \widehat{HDC} = \frac{DH}{DC} = \frac{MN}{DC} \] Từ đó, ta có: \[ \frac{S_{\Delta BAC}}{S_{\Delta DAN}} = \frac{1}{\sin^2 \widehat{DAC}} + \frac{1}{\cos^2 \widehat{BDC}} \] Bằng cách sử dụng các mối quan hệ hình học và các định lý tam giác, ta đã chứng minh được các phần của bài toán. Bài 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a. Tính độ dài AC, AH, AB Cho tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại A, đường cao AH. Biết $HB = 9~cm$ và $HC = 16~cm$. 1. Tính độ dài AH: Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ AH^2 = HB \cdot HC \] Thay số vào, ta được: \[ AH^2 = 9 \cdot 16 = 144 \] Suy ra: \[ AH = \sqrt{144} = 12~cm \] 2. Tính độ dài AC và AB: Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} \] Thay $AH = 12~cm$ vào, ta có: \[ \frac{1}{144} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} \] Ngoài ra, theo định lý Pitago trong tam giác vuông $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$, ta có: \[ AB^2 = AH^2 + HB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \] Suy ra: \[ AB = \sqrt{225} = 15~cm \] Tương tự, ta có: \[ AC^2 = AH^2 + HC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \] Suy ra: \[ AC = \sqrt{400} = 20~cm \] b. Chứng minh $HE \cdot HF = AH^2$ Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. 1. Chứng minh $HE \cdot HF = AH^2$: Theo định lý hình chiếu trong tam giác vuông, ta có: \[ HE = \frac{AH^2}{AB} \quad \text{và} \quad HF = \frac{AH^2}{AC} \] Tích $HE \cdot HF$ là: \[ HE \cdot HF = \left(\frac{AH^2}{AB}\right) \cdot \left(\frac{AH^2}{AC}\right) = \frac{AH^4}{AB \cdot AC} \] Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ AH^2 = HB \cdot HC \] Do đó, $HE \cdot HF = AH^2$ là đúng. Kết luận: - Độ dài $AC = 20~cm$, $AH = 12~cm$, $AB = 15~cm$. - Chứng minh được $HE \cdot HF = AH^2$.