CM: 5^2n-1 . 2^n+1 +3^n+1 . 2^2n-1 chia hết 38 với n>=2

Ta có: \[5^{2n-1} \cdot 2^{n+1} + 3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}\] Ta sẽ viết lại biểu thức này dưới dạng: \[5^{2n-1} \cdot 2^{n+1} + 3^{n+1} \cdot 2^{2n-1} = 5^{2n-1} \cdot 2^{n+1} + 3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}\] Ta thấy rằng \(5^{2n-1}\) và \(3^{n+1}\) đều là các lũy thừa của số nguyên tố, do đó ta có thể tách riêng các phần tử để xét tính chia hết. Xét \(5^{2n-1} \cdot 2^{n+1}\): \[5^{2n-1} \cdot 2^{n+1} = 5^{2n-1} \cdot 2^{n+1}\] Ta thấy rằng \(5^{2n-1}\) là một số lẻ và \(2^{n+1}\) là một số chẵn, do đó tích của chúng cũng là một số chẵn. Xét \(3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}\): \[3^{n+1} \cdot 2^{2n-1} = 3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}\] Ta thấy rằng \(3^{n+1}\) là một số lẻ và \(2^{2n-1}\) là một số chẵn, do đó tích của chúng cũng là một số chẵn. Do đó, tổng của hai số chẵn cũng là một số chẵn. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra tính chia hết cho 38: \[5^{2n-1} \cdot 2^{n+1} + 3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}\] Ta thấy rằng \(5^{2n-1} \cdot 2^{n+1}\) và \(3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}\) đều chia hết cho 2, do đó tổng của chúng cũng chia hết cho 2. Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra tính chia hết cho 19: \[5^{2n-1} \cdot 2^{n+1} + 3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}\] Ta thấy rằng \(5^{2n-1} \cdot 2^{n+1}\) và \(3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}\) đều chia hết cho 19, do đó tổng của chúng cũng chia hết cho 19. Vậy, \(5^{2n-1} \cdot 2^{n+1} + 3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}\) chia hết cho 38 với \(n \geq 2\).