Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $y^2+2xy-3x-2=0$.

Bùi Ngọc Diễm

\(y^2 + 2x y - 3x - 2 = 0 (1)\)

\(\Delta_y = (2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3x - 2) = 4x^2 + 12x + 8\)

\(= 4(x^2 + 3x + 2) = 4(x + 1)(x + 2)\)

Để \(y\) nguyên, \(\Delta_y\) phải là số chính phương. Đặt: \(\Delta_y = k^2 \quad (k \in \mathbb{Z}, k \geq 0)\) 

\(4(x + 1)(x + 2) = k^2\)

\((x + 1)(x + 2) = \frac{k^2}{4}\)

Vì \(x\) nguyên nên \((x + 1)(x + 2)\) là tích của hai số nguyên liên tiếp. Đặt \(t = x + 1\), thì \(x + 2 = t + 1\), và:

\(t(t + 1) = \frac{k^2}{4}\)

Suy ra \(k^2\) chia hết cho 4, nên \(k\) chẵn. Đặt \(k = 2m\):

\(t(t + 1) = m^2\)

Tích hai số nguyên liên tiếp bằng một số chính phương. Chỉ có thể xảy ra khi \(t = 0\) hoặc \(t = -1\):

Với\(t = 0\), thì: \(m^2 = 0\)

\(m = 0\)

Với \(t = -1\), thì:

\( \((-1) \cdot 0 = 0 = m^2\)

\(m = 0\)

Trường hợp 1: \(t = 0\)

\(x + 1 = 0\)

\(x = -1\)

Thay vào phương trình \((1)\), ta được:

\(y^2 + 2(-1)y - 3(-1) - 2=0 \)

\(y^2 - 2y + 3 - 2=0\)

\(y^2 - 2y + 1=0\)

\((y - 1)^2=0\)

\(y = 1\) 

Trường hợp 2: \(t = -1\)

\(x + 1 = -1\)

\(x = -2\)

Thay vào phương trình \((1)\), ta được:

\(y^2 + 2(-2)y - 3(-2) - 2 =0\)

\( y^2 - 4y + 6 - 2 =0\)

\( y^2 - 4y + 4 =0\)

\( (y - 2)^2 = 0\)

\(y = 2\)

Vậy: Phương trình có \(4\) nghiệm nguyên là: \((x ,y) = (-1, 1);(-2,2)\)