Giải chi tiết

Câu 9: Để tìm tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \), trước tiên ta cần tìm tọa độ của hai điểm \( A \) và \( B \) là giao điểm của đường thẳng \( y = 2x - 3 \) và đồ thị hàm số \( y = \frac{2x+3}{x+3} \). Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị Ta giải phương trình hoành độ giao điểm: \[ 2x - 3 = \frac{2x+3}{x+3} \] Bước 2: Quy đồng mẫu và giải phương trình Quy đồng mẫu hai vế của phương trình: \[ (2x - 3)(x + 3) = 2x + 3 \] Khai triển và rút gọn: \[ 2x^2 + 6x - 3x - 9 = 2x + 3 \] \[ 2x^2 + 3x - 9 = 2x + 3 \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 2x^2 + 3x - 9 - 2x - 3 = 0 \] \[ 2x^2 + x - 12 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = -12 \), ta có: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 96}}{4} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{97}}{4} \] Hai nghiệm là: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{97}}{4}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{97}}{4} \] Bước 4: Tìm tọa độ của \( A \) và \( B \) Thay \( x_1 \) và \( x_2 \) vào phương trình đường thẳng \( y = 2x - 3 \) để tìm \( y_1 \) và \( y_2 \): \[ y_1 = 2\left(\frac{-1 + \sqrt{97}}{4}\right) - 3 = \frac{-2 + 2\sqrt{97}}{4} - 3 = \frac{-2 + 2\sqrt{97} - 12}{4} = \frac{2\sqrt{97} - 14}{4} \] \[ y_2 = 2\left(\frac{-1 - \sqrt{97}}{4}\right) - 3 = \frac{-2 - 2\sqrt{97}}{4} - 3 = \frac{-2 - 2\sqrt{97} - 12}{4} = \frac{-2\sqrt{97} - 14}{4} \] Tọa độ của \( A \) và \( B \) là: \[ A\left(\frac{-1 + \sqrt{97}}{4}, \frac{2\sqrt{97} - 14}{4}\right), \quad B\left(\frac{-1 - \sqrt{97}}{4}, \frac{-2\sqrt{97} - 14}{4}\right) \] Bước 5: Tìm tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \) Tọa độ trung điểm \( I \) là: \[ x_I = \frac{\frac{-1 + \sqrt{97}}{4} + \frac{-1 - \sqrt{97}}{4}}{2} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \] \[ y_I = \frac{\frac{2\sqrt{97} - 14}{4} + \frac{-2\sqrt{97} - 14}{4}}{2} = \frac{-28}{8} = -\frac{7}{2} \] Vậy tọa độ trung điểm \( I \) là \( \left(-\frac{1}{4}, -\frac{7}{2}\right) \). Đáp án đúng là D.