Giúp mình với!

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số Dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_n = \sin\left[(2n-1)\frac{\pi}{4}\right]$. - Với $n = 1$: \[ u_1 = \sin\left[(2 \times 1 - 1)\frac{\pi}{4}\right] = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] - Với $n = 2$: \[ u_2 = \sin\left[(2 \times 2 - 1)\frac{\pi}{4}\right] = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] - Với $n = 3$: \[ u_3 = \sin\left[(2 \times 3 - 1)\frac{\pi}{4}\right] = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] - Với $n = 4$: \[ u_4 = \sin\left[(2 \times 4 - 1)\frac{\pi}{4}\right] = \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy bốn số hạng đầu của dãy số là: $\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}$. b) Chứng minh rằng $u_{n+4} = u_n$ với mọi $n \geq 1$ Ta có: \[ u_{n+4} = \sin\left[(2(n+4)-1)\frac{\pi}{4}\right] = \sin\left[(2n+8-1)\frac{\pi}{4}\right] = \sin\left[(2n+7)\frac{\pi}{4}\right] \] Ta cần chứng minh $u_{n+4} = u_n$, tức là: \[ \sin\left[(2n+7)\frac{\pi}{4}\right] = \sin\left[(2n-1)\frac{\pi}{4}\right] \] Sử dụng tính chất của hàm sin: $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$, ta có: \[ (2n+7)\frac{\pi}{4} = (2n-1)\frac{\pi}{4} + 2k\pi \] Giải phương trình: \[ (2n+7)\frac{\pi}{4} = (2n-1)\frac{\pi}{4} + 2k\pi \Rightarrow \frac{8\pi}{4} = 2k\pi \Rightarrow 2\pi = 2k\pi \Rightarrow k = 1 \] Vậy $u_{n+4} = u_n$ với mọi $n \geq 1$. c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số Dãy số có chu kỳ 4, do đó 12 số hạng đầu sẽ gồm 3 chu kỳ của 4 số hạng đầu. Tổng của một chu kỳ là: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \] Vì vậy, tổng của 12 số hạng đầu là: \[ 3 \times 0 = 0 \] Kết luận: Tổng 12 số hạng đầu của dãy số là 0.