làm ngắn gọn chính xác dễ hiểu

Chúng ta sẽ giải quyết từng câu hỏi một cách chi tiết và rõ ràng. Câu 6a: \( y = x^2 e^{-x} \) 1. Tìm ĐKXĐ: Hàm số xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Tính đạo hàm: \[ y' = (x^2)' e^{-x} + x^2 (e^{-x})' = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = e^{-x}(2x - x^2) \] 3. Tìm cực trị: - Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ e^{-x}(2x - x^2) = 0 \Rightarrow 2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \] \(\Rightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\). 4. Xét dấu đạo hàm: - Với \( x < 0 \), \( y' > 0 \). - Với \( 0 < x < 2 \), \( y' > 0 \). - Với \( x > 2 \), \( y' < 0 \). 5. Kết luận: - \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. - \( x = 2 \) là điểm cực đại. Câu 6b: \( y = (x^2 - 2)e^{2x} \) 1. Tìm ĐKXĐ: Hàm số xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Tính đạo hàm: \[ y' = ((x^2 - 2)' e^{2x} + (x^2 - 2)(e^{2x})') = (2x e^{2x} + (x^2 - 2) \cdot 2e^{2x}) = e^{2x}(2x + 2x^2 - 4) \] 3. Tìm cực trị: - Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ e^{2x}(2x^2 + 2x - 4) = 0 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 4 = 0 \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 2) = 0 \] \(\Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = -2\). 4. Xét dấu đạo hàm: - Với \( x < -2 \), \( y' > 0 \). - Với \( -2 < x < 1 \), \( y' < 0 \). - Với \( x > 1 \), \( y' > 0 \). 5. Kết luận: - \( x = -2 \) là điểm cực đại. - \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Câu 7a: \( y = x - 2\ln(x^2 + 3) \) 1. Tìm ĐKXĐ: Hàm số xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Tính đạo hàm: \[ y' = 1 - \frac{4x}{x^2 + 3} \] 3. Tìm cực trị: - Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 1 - \frac{4x}{x^2 + 3} = 0 \Rightarrow x^2 + 3 = 4x \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] 4. Xét dấu đạo hàm: - Với \( x < 1 \), \( y' > 0 \). - Với \( 1 < x < 3 \), \( y' < 0 \). - Với \( x > 3 \), \( y' > 0 \). 5. Kết luận: - \( x = 1 \) là điểm cực đại. - \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. Câu 7b: \( y = e^{2x^2 - 2x + 1} \) 1. Tìm ĐKXĐ: Hàm số xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Tính đạo hàm: \[ y' = e^{2x^2 - 2x + 1} \cdot (4x - 2) \] 3. Tìm cực trị: - Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ e^{2x^2 - 2x + 1} \cdot (4x - 2) = 0 \Rightarrow 4x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \] 4. Xét dấu đạo hàm: - Với \( x < \frac{1}{2} \), \( y' < 0 \). - Với \( x > \frac{1}{2} \), \( y' > 0 \). 5. Kết luận: - \( x = \frac{1}{2} \) là điểm cực tiểu. Câu 8a: \( y = x - \sin x \) với \( x \in [0; \pi] \) 1. Tính đạo hàm: \[ y' = 1 - \cos x \] 2. Tìm cực trị: - Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 1 - \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 0 \] 3. Xét dấu đạo hàm: - Với \( x \in (0, \pi] \), \( y' > 0 \). 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên \([0; \pi]\). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( y(0) = 0 \). - Giá trị lớn nhất của hàm số là \( y(\pi) = \pi + 1 \). Câu 8b: \( y = 2\sin x + \cos 2x \) với \( x \in [0; \pi] \) 1. Biến đổi hàm số: \[ y = 2\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 1 + 2\sin x - 2\sin^2 x \] 2. Tính đạo hàm: \[ y' = 2\cos x - 4\sin x \cos x = 2\cos x(1 - 2\sin x) \] 3. Tìm cực trị: - Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 2\cos x(1 - 2\sin x) = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \text{ hoặc } \sin x = \frac{1}{2} \] \[ \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} \text{ hoặc } x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \] 4. Xét dấu đạo hàm: - Xét các khoảng để xác định dấu của \( y' \). 5. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là \( y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{2} \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 \).