Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD sao cho tiếp tuyến tại A của (O; R) cắt các đường thẳng BC, BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE, AF...

Để chứng minh trực tâm \( H \) của tam giác \( BPQ \) là trung điểm của đoạn thẳng \( OA \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và tính chất: - \( AB \) và \( CD \) là hai đường kính của đường tròn \((O; R)\), do đó \( AB \perp CD \). - \( E \) và \( F \) là các điểm cắt của tiếp tuyến tại \( A \) với các đường thẳng \( BC \) và \( BD \). - \( P \) và \( Q \) lần lượt là trung điểm của \( AE \) và \( AF \). 2. Chứng minh các tam giác vuông: - Do \( AB \) là đường kính, nên \( \angle ACB = 90^\circ \) và \( \angle ADB = 90^\circ \). - Tiếp tuyến tại \( A \) vuông góc với bán kính \( OA \), do đó \( \angle BAE = 90^\circ \) và \( \angle BAF = 90^\circ \). 3. Xác định trực tâm \( H \) của tam giác \( BPQ \): - Vì \( P \) và \( Q \) là trung điểm của \( AE \) và \( AF \), nên \( BP \) và \( BQ \) là các đường trung tuyến của tam giác \( BAE \) và \( BAF \). - Do \( \angle BAE = 90^\circ \) và \( \angle BAF = 90^\circ \), nên \( BP \) và \( BQ \) cũng là các đường cao của tam giác \( BPQ \). 4. Chứng minh \( H \) là trung điểm của \( OA \): - Vì \( BP \) và \( BQ \) là các đường cao của tam giác \( BPQ \), nên giao điểm của chúng, tức là trực tâm \( H \), nằm trên đường thẳng \( OA \). - Do \( BP \) và \( BQ \) là các đường trung tuyến của các tam giác vuông \( BAE \) và \( BAF \), nên \( H \) là trung điểm của \( OA \). Từ các lập luận trên, ta kết luận rằng trực tâm \( H \) của tam giác \( BPQ \) là trung điểm của đoạn thẳng \( OA \).