giải chi tiết các câu này giúp mình nhé

Câu 1: Để hàm số \( y = \frac{x + m}{x - 2} \) nghịch biến trên từng khoảng xác định, ta cần tìm điều kiện của \( m \). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + m) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{x - 2 - x - m}{(x - 2)^2} = \frac{-2 - m}{(x - 2)^2} \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: - Đạo hàm \( y' \) sẽ âm nếu tử số \( -2 - m \) âm. - Do mẫu số \( (x - 2)^2 \) luôn dương (ngoại trừ tại \( x = 2 \) nhưng đây là điểm gián đoạn), nên dấu của \( y' \) phụ thuộc vào tử số. 3. Điều kiện để hàm số nghịch biến: - Hàm số \( y \) nghịch biến khi \( y' < 0 \). - Điều này xảy ra khi \( -2 - m < 0 \), tức là \( m > -2 \). Vậy, tất cả giá trị của \( m \) để hàm số \( y = \frac{x + m}{x - 2} \) nghịch biến trên từng khoảng xác định là: \[ \boxed{A.~m > -2} \] Câu 2: Để hàm số \( y = \frac{mx - 2}{x + 1 - m} \) đồng biến trên từng khoảng xác định, ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của nó luôn dương trên từng khoảng xác định. 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(mx - 2)'(x + 1 - m) - (mx - 2)(x + 1 - m)'}{(x + 1 - m)^2} \] \[ y' = \frac{m(x + 1 - m) - (mx - 2)}{(x + 1 - m)^2} \] \[ y' = \frac{mx + m - m^2 - mx + 2}{(x + 1 - m)^2} \] \[ y' = \frac{m - m^2 + 2}{(x + 1 - m)^2} \] 2. Điều kiện để hàm số đồng biến: Hàm số đồng biến khi \( y' > 0 \). Vì mẫu số \((x + 1 - m)^2\) luôn dương (ngoại trừ tại điểm \( x = m - 1 \)), nên ta chỉ cần đảm bảo tử số \( m - m^2 + 2 > 0 \). 3. Giải bất phương trình: \[ m - m^2 + 2 > 0 \] \[ -m^2 + m + 2 > 0 \] \[ m^2 - m - 2 < 0 \] \[ (m - 2)(m + 1) < 0 \] 4. Xác định khoảng giá trị của \( m \): Bất phương trình \( (m - 2)(m + 1) < 0 \) có nghiệm trong khoảng: \[ -1 < m < 2 \] Do đó, giá trị của tham số \( m \) để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định là: \[ B. -1 < m < 2 \] Câu 3: Để hàm số \( y = \frac{x + m}{x + 2} \) đồng biến trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta cần xét đạo hàm của hàm số này. 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(x + 2) \cdot 1 - (x + m) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{x + 2 - x - m}{(x + 2)^2} = \frac{2 - m}{(x + 2)^2} \] 2. Xét dấu của đạo hàm: - Đạo hàm \( y' \) sẽ dương nếu \( \frac{2 - m}{(x + 2)^2} > 0 \). - Vì \( (x + 2)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq -2 \), nên dấu của \( y' \) phụ thuộc vào tử số \( 2 - m \). 3. Điều kiện để hàm số đồng biến: - Hàm số đồng biến khi \( y' > 0 \), tức là \( 2 - m > 0 \). - Giải bất phương trình này: \[ 2 - m > 0 \implies m < 2 \] 4. Kết luận: - Tập hợp tất cả các giá trị của \( m \) để hàm số đồng biến trên khoảng \( (0; +\infty) \) là \( (-\infty; 2) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~(-\infty; 2) \] Câu 4: Để hàm số \( y = \frac{mx + 4}{x + m} \) nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; 1) \), ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của nó âm trên khoảng này. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(mx + 4)'(x + m) - (mx + 4)(x + m)'}{(x + m)^2} \] \[ y' = \frac{m(x + m) - (mx + 4)}{(x + m)^2} \] \[ y' = \frac{mx + m^2 - mx - 4}{(x + m)^2} \] \[ y' = \frac{m^2 - 4}{(x + m)^2} \] 2. Điều kiện để hàm số nghịch biến: Hàm số \( y \) nghịch biến nếu \( y' < 0 \) trên khoảng \( (-\infty; 1) \). Ta có: \[ y' = \frac{m^2 - 4}{(x + m)^2} \] Vì \( (x + m)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq -m \), nên dấu của \( y' \) phụ thuộc vào tử số \( m^2 - 4 \). Do đó, \( y' < 0 \) khi: \[ m^2 - 4 < 0 \] \[ m^2 < 4 \] \[ -2 < m < 2 \] 3. Kiểm tra điều kiện \( x \neq -m \): Để hàm số xác định trên khoảng \( (-\infty; 1) \), ta cần \( x + m \neq 0 \) trên khoảng này. Điều này có nghĩa là \( -m \) không nằm trong khoảng \( (-\infty; 1) \). Do đó, \( -m \geq 1 \) hoặc \( -m \leq -\infty \). Tuy nhiên, vì \( -\infty \) không có ý nghĩa thực tế, ta chỉ cần xét: \[ -m \geq 1 \] \[ m \leq -1 \] 4. Kết hợp các điều kiện: Kết hợp \( -2 < m < 2 \) và \( m \leq -1 \), ta có: \[ -2 < m \leq -1 \] Vậy, đáp án đúng là: \[ D. -2 < m \leq -1 \] Câu 5: Để hàm số \( y = \frac{mx + 10}{2x + m} \) nghịch biến trên khoảng \((0; 2)\), ta cần xét đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm \( y' \). Ta có: \[ y = \frac{mx + 10}{2x + m} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(mx + 10)'(2x + m) - (mx + 10)(2x + m)'}{(2x + m)^2} \] Tính đạo hàm từng phần: \[ (mx + 10)' = m \] \[ (2x + m)' = 2 \] Do đó: \[ y' = \frac{m(2x + m) - (mx + 10) \cdot 2}{(2x + m)^2} \] \[ y' = \frac{2mx + m^2 - 2mx - 20}{(2x + m)^2} \] \[ y' = \frac{m^2 - 20}{(2x + m)^2} \] Bước 2: Xác định điều kiện để hàm số nghịch biến. Hàm số \( y \) nghịch biến trên khoảng \((0; 2)\) nếu \( y' < 0 \) trên khoảng này. Do \((2x + m)^2 > 0\) với mọi \( x \neq -\frac{m}{2} \), nên dấu của \( y' \) phụ thuộc vào tử số \( m^2 - 20 \). Yêu cầu \( y' < 0 \): \[ m^2 - 20 < 0 \] \[ m^2 < 20 \] \[ -\sqrt{20} < m < \sqrt{20} \] Bước 3: Tìm các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \(-\sqrt{20} < m < \sqrt{20}\). \[ -\sqrt{20} \approx -4.47 \] \[ \sqrt{20} \approx 4.47 \] Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng này là: \[ m = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện \( 2x + m \neq 0 \) trên khoảng \((0; 2)\). \[ 2x + m \neq 0 \] \[ m \neq -2x \] Trên khoảng \((0; 2)\), \( -2x \) nằm trong khoảng \((-4; 0)\). Do đó, \( m \) không được lấy các giá trị \(-4, -3, -2, -1, 0\). Các giá trị còn lại là: \[ m = 1, 2, 3, 4 \] Vậy số giá trị nguyên của tham số \( m \) để hàm số \( y = \frac{mx + 10}{2x + m} \) nghịch biến trên khoảng \((0; 2)\) là 4. Đáp án: C. 4. Câu 6: Để hàm số \( y = x^3 - 2mx^2 + (m^2 + 3)x \) đồng biến trên \( \mathbb{R} \), ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của nó \( y' \geq 0 \) trên toàn bộ miền xác định \( \mathbb{R} \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 - 4mx + (m^2 + 3) \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \), ta cần \( y' \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Điều này xảy ra khi và chỉ khi đồ thị của \( y' \) nằm hoàn toàn phía trên hoặc tiếp xúc trục hoành. Điều này tương đương với việc \( y' \) không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép. Bước 3: Xét biệt thức của \( y' \): \[ \Delta' = (-4m)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (m^2 + 3) \] \[ \Delta' = 16m^2 - 12(m^2 + 3) \] \[ \Delta' = 16m^2 - 12m^2 - 36 \] \[ \Delta' = 4m^2 - 36 \] Bước 4: Để \( y' \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần \( \Delta' \leq 0 \): \[ 4m^2 - 36 \leq 0 \] \[ 4m^2 \leq 36 \] \[ m^2 \leq 9 \] \[ -3 \leq m \leq 3 \] Bước 5: Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \([-3, 3]\) là: \[ m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \] Vậy có 7 giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn điều kiện hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \). Đáp án: C. 7. Câu 7: Để hàm số \( y = -x^3 - mx^2 + (4m + 9)x + 5 \) nghịch biến trên \( \mathbb{R} \), ta cần đạo hàm của nó âm trên toàn bộ miền xác định. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = -3x^2 - 2mx + (4m + 9) \] Bước 2: Hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) nếu \( y' < 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Điều này xảy ra khi đồ thị của \( y' \) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Bước 3: Để \( y' < 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), phương trình \( -3x^2 - 2mx + (4m + 9) = 0 \) phải không có nghiệm thực hoặc có nghiệm thực nhưng đồ thị của \( y' \) vẫn nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Bước 4: Xét biệt thức của phương trình bậc hai \( -3x^2 - 2mx + (4m + 9) = 0 \): \[ \Delta = (-2m)^2 - 4(-3)(4m + 9) \] \[ \Delta = 4m^2 + 12(4m + 9) \] \[ \Delta = 4m^2 + 48m + 108 \] Bước 5: Để phương trình không có nghiệm thực, biệt thức phải âm: \[ 4m^2 + 48m + 108 < 0 \] \[ m^2 + 12m + 27 < 0 \] Bước 6: Giải bất phương trình bậc hai: \[ m^2 + 12m + 27 < 0 \] \[ (m + 3)(m + 9) < 0 \] Bước 7: Biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số: \[ -9 < m < -3 \] Bước 8: Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng này là: \[ m = -8, -7, -6, -5, -4 \] Bước 9: Đếm số lượng giá trị nguyên của \( m \): Có 5 giá trị nguyên của \( m \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{C. 5} \] Câu 8: Để hàm số \( y = x^3 - 3mx^2 - 9m^2x \) nghịch biến trên khoảng \( (0; 1) \), ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của hàm số \( y' \) không đổi dấu từ âm sang dương trong khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3mx^2 - 9m^2x) = 3x^2 - 6mx - 9m^2 \] Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0; 1) \), đạo hàm \( y' \) phải nhỏ hơn hoặc bằng 0 trong toàn bộ khoảng này: \[ 3x^2 - 6mx - 9m^2 \leq 0 \quad \text{với mọi } x \in (0; 1) \] Bước 3: Xét dấu của \( y' \) trong khoảng \( (0; 1) \): \[ 3x^2 - 6mx - 9m^2 \leq 0 \] \[ x^2 - 2mx - 3m^2 \leq 0 \] Bước 4: Giải bất phương trình bậc hai: \[ x^2 - 2mx - 3m^2 \leq 0 \] Ta cần tìm các giá trị của \( m \) sao cho bất phương trình trên đúng trong khoảng \( (0; 1) \). Bước 5: Tìm nghiệm của phương trình \( x^2 - 2mx - 3m^2 = 0 \): \[ x = \frac{2m \pm \sqrt{(2m)^2 + 4 \cdot 3m^2}}{2} \] \[ x = \frac{2m \pm \sqrt{4m^2 + 12m^2}}{2} \] \[ x = \frac{2m \pm \sqrt{16m^2}}{2} \] \[ x = \frac{2m \pm 4m}{2} \] \[ x = 3m \quad \text{hoặc} \quad x = -m \] Bước 6: Đánh giá các nghiệm trong khoảng \( (0; 1) \): - Nếu \( 3m \) và \( -m \) nằm trong khoảng \( (0; 1) \), thì \( y' \) sẽ đổi dấu trong khoảng này, do đó hàm số không nghịch biến. Bước 7: Kết luận: - Hàm số \( y = x^3 - 3mx^2 - 9m^2x \) nghịch biến trên khoảng \( (0; 1) \) nếu \( m \) thỏa mãn: \[ m \geq \frac{1}{3} \quad \text{hoặc} \quad m \leq -1 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D. ~ m \geq \frac{1}{3} \text{ hoặc } m \leq -1 \] Câu 9: Để hàm số \( y = 2x^3 - 3(2m+1)x^2 + 6m(m+1)x + 2019 \) đồng biến trên khoảng \( (2; +\infty) \), đạo hàm của nó phải không âm trên khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 6x^2 - 6(2m+1)x + 6m(m+1) \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên khoảng \( (2; +\infty) \), ta yêu cầu \( y' \geq 0 \) trên khoảng này. Điều này xảy ra khi đạo hàm \( y' \) không đổi dấu từ dương sang âm trong khoảng \( (2; +\infty) \). Bước 3: Xét dấu của \( y' \): \[ y' = 6x^2 - 6(2m+1)x + 6m(m+1) \] \[ y' = 6[x^2 - (2m+1)x + m(m+1)] \] Bước 4: Ta cần \( x^2 - (2m+1)x + m(m+1) \geq 0 \) trên khoảng \( (2; +\infty) \). Điều này xảy ra khi \( x^2 - (2m+1)x + m(m+1) \) không có nghiệm thực hoặc tất cả các nghiệm đều nằm bên trái điểm \( x = 2 \). Bước 5: Tìm nghiệm của phương trình \( x^2 - (2m+1)x + m(m+1) = 0 \): \[ \Delta = (2m+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m(m+1) \] \[ \Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 4m \] \[ \Delta = 1 \] Phương trình có hai nghiệm thực: \[ x_1 = \frac{(2m+1) - 1}{2} = m \] \[ x_2 = \frac{(2m+1) + 1}{2} = m+1 \] Bước 6: Để \( x^2 - (2m+1)x + m(m+1) \geq 0 \) trên khoảng \( (2; +\infty) \), ta yêu cầu \( m+1 \leq 2 \): \[ m+1 \leq 2 \] \[ m \leq 1 \] Bước 7: Kết luận: Số giá trị nguyên của \( m \) thuộc khoảng \( (-2019; 2020) \) thỏa mãn \( m \leq 1 \) là: \[ m \in \{-2018, -2017, \ldots, 0, 1\} \] Tổng cộng có 2020 giá trị nguyên của \( m \). Đáp án: A. 2020. Câu 10: Để hàm số \( y = -x^3 - 6x^2 + (4m - 9)x + 4 \) nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \), ta cần xét đạo hàm của hàm số này. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( -x^3 - 6x^2 + (4m - 9)x + 4 \right) \] \[ y' = -3x^2 - 12x + (4m - 9) \] 2. Hàm số \( y \) nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \) nếu \( y' < 0 \) trên khoảng này. 3. Xét dấu của \( y' \): \[ y' = -3x^2 - 12x + (4m - 9) \] Đây là một tam thức bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -3 \), \( b = -12 \), và \( c = 4m - 9 \). 4. Để \( y' < 0 \) trên khoảng \( (-\infty; -1) \), ta cần kiểm tra giá trị của \( y' \) tại \( x = -1 \): \[ y'(-1) = -3(-1)^2 - 12(-1) + (4m - 9) \] \[ y'(-1) = -3 + 12 + 4m - 9 \] \[ y'(-1) = 4m \] 5. Để \( y' < 0 \) tại \( x = -1 \): \[ 4m < 0 \] \[ m < 0 \] 6. Kiểm tra thêm điều kiện \( y' < 0 \) trên toàn bộ khoảng \( (-\infty; -1) \): - Tam thức \( y' = -3x^2 - 12x + (4m - 9) \) sẽ luôn âm trên khoảng \( (-\infty; -1) \) nếu đỉnh của parabol nằm bên trái \( x = -1 \) và \( y'(-1) < 0 \). 7. Đỉnh của parabol \( y' = -3x^2 - 12x + (4m - 9) \) là: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2(-3)} = -2 \] - Đỉnh \( x = -2 \) nằm bên trái \( x = -1 \). 8. Kết luận: - Điều kiện \( m < 0 \) đảm bảo \( y' < 0 \) trên khoảng \( (-\infty; -1) \). Do đó, tập hợp các giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số \( y = -x^3 - 6x^2 + (4m - 9)x + 4 \) nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \) là: \[ A.~(-\infty; 0] \]