Giải hộ mình câu này với các bạn (Đạo hàm -- ứng dụng) Cho $f(x)=x^3-3x^2+2x+1.$ Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của f và xác,định khoảng đồng biến/ nghịch biến.

Question

Accepted Answer

Để tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 $ và xác định khoảng đồng biến/nghịch biến, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm bậc nhất $ f&#x27;(x) $:
   $$
   f&#x27;(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x + 1) = 3x^2 - 6x + 2
   $$

2. Giải phương trình $ f&#x27;(x) = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   3x^2 - 6x + 2 = 0
   $$
   Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Với $ a = 3 $, $ b = -6 $, $ c = 2 $:
   $$
   x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}
   $$
   Vậy các điểm tới hạn là:
   $$
   x_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}
   $$

3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của $ f&#x27;(x) $:
   - Ta chọn các khoảng $ (-\infty, x_1) $, $ (x_1, x_2) $, và $ (x_2, \infty) $ để kiểm tra dấu của $ f&#x27;(x) $.

- Chọn $ x = 0 $ trong khoảng $ (-\infty, x_1) $:
     $$
     f&#x27;(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 2 = 2 > 0
     $$
     Hàm số đồng biến trên $ (-\infty, x_1) $.

- Chọn $ x = 1 $ trong khoảng $ (x_1, x_2) $:
     $$
     f&#x27;(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 < 0
     $$
     Hàm số nghịch biến trên $ (x_1, x_2) $.

- Chọn $ x = 2 $ trong khoảng $ (x_2, \infty) $:
     $$
     f&#x27;(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2 > 0
     $$
     Hàm số đồng biến trên $ (x_2, \infty) $.

4. Kết luận về các điểm cực đại và cực tiểu:
   - Tại $ x_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} $, hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến, do đó đây là điểm cực đại.
   - Tại $ x_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3} $, hàm số chuyển từ nghịch biến sang đồng biến, do đó đây là điểm cực tiểu.

5. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến:
   - Hàm số đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}) $ và $ (\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \infty) $.
   - Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (\frac{3 - \sqrt{3}}{3}, \frac{3 + \sqrt{3}}{3}) $.

Đáp số:
- Điểm cực đại: $ x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} $
- Điểm cực tiểu: $ x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3} $
- Khoảng đồng biến: $ (-\infty, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}) $ và $ (\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \infty) $
- Khoảng nghịch biến: $ (\frac{3 - \sqrt{3}}{3}, \frac{3 + \sqrt{3}}{3}) $