Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 7: Để tính góc giữa hai đường chéo của hai mặt đối diện trong hình hộp chữ nhật có kích thước \(a, a, \sqrt{2}a\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các mặt đối diện và đường chéo của chúng: - Hình hộp chữ nhật có các mặt là hình chữ nhật. Xét hai mặt đối diện là mặt đáy và mặt trên, mỗi mặt có kích thước \(a \times a\). - Đường chéo của mặt đáy (hoặc mặt trên) có độ dài là \(d_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a\). 2. Xác định đường chéo của mặt bên: - Xét mặt bên có kích thước \(a \times \sqrt{2}a\). - Đường chéo của mặt bên này có độ dài là \(d_2 = \sqrt{a^2 + (\sqrt{2}a)^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3}a\). 3. Tính góc giữa hai đường chéo: - Để tính góc giữa hai đường chéo của hai mặt đối diện, ta cần xác định góc giữa hai vectơ tương ứng với hai đường chéo này. - Giả sử vectơ \(\overrightarrow{d_1}\) là đường chéo của mặt đáy và vectơ \(\overrightarrow{d_2}\) là đường chéo của mặt bên. - Vectơ \(\overrightarrow{d_1} = (a, a, 0)\) và vectơ \(\overrightarrow{d_2} = (a, 0, \sqrt{2}a)\). 4. Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2} = a \cdot a + a \cdot 0 + 0 \cdot \sqrt{2}a = a^2 \] 5. Tính độ dài của các vectơ: - Độ dài của \(\overrightarrow{d_1}\) là \(|\overrightarrow{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a\). - Độ dài của \(\overrightarrow{d_2}\) là \(|\overrightarrow{d_2}| = \sqrt{a^2 + (\sqrt{2}a)^2} = \sqrt{3}a\). 6. Tính góc giữa hai vectơ: - Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc \(\theta\) giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}}{|\overrightarrow{d_1}| \cdot |\overrightarrow{d_2}|} = \frac{a^2}{\sqrt{2}a \cdot \sqrt{3}a} = \frac{a^2}{\sqrt{6}a^2} = \frac{1}{\sqrt{6}} \] 7. Kết luận: - Góc giữa hai đường chéo của hai mặt đối diện là \(\theta\), với \(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{6}}\). Vậy góc giữa hai đường chéo của hai mặt đối diện là \(\theta\), với \(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{6}}\). Câu 8: Để tính góc giữa đường thẳng \( AC \) và \( BD' \) trong hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng \( a \). Ta đặt hệ trục tọa độ sao cho: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(a, 0, 0) \) - \( C(a, a, 0) \) - \( D(0, a, 0) \) - \( A'(0, 0, a) \) - \( B'(a, 0, a) \) - \( C'(a, a, a) \) - \( D'(0, a, a) \) 2. Tính tọa độ các điểm cần thiết: - \( AC \) là đường chéo của mặt đáy \( ABCD \), nên \( C(a, a, 0) \). - \( BD' \) là đường chéo không gian từ \( B \) đến \( D' \), nên \( D'(0, a, a) \). 3. Tính vector chỉ phương của các đường thẳng: - Vector chỉ phương của \( AC \) là \( \overrightarrow{AC} = (a, a, 0) \). - Vector chỉ phương của \( BD' \) là \( \overrightarrow{BD'} = (-a, a, a) \). 4. Tính tích vô hướng của hai vector: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD'} = a \cdot (-a) + a \cdot a + 0 \cdot a = -a^2 + a^2 + 0 = 0 \] 5. Tính độ dài của các vector: - Độ dài của \( \overrightarrow{AC} \) là \( \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \). - Độ dài của \( \overrightarrow{BD'} \) là \( \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \). 6. Tính góc giữa hai vector: Vì tích vô hướng của hai vector là 0, nên góc giữa hai vector là \( 90^\circ \). Kết luận: Góc giữa đường thẳng \( AC \) và \( BD' \) trong hình lập phương là \( 90^\circ \).