giúp mình chữa với ạ

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính giá trị của biểu thức \((\sqrt{3} - \sqrt{12})^2\): - Đầu tiên, ta biết rằng \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). - Do đó, \(\sqrt{3} - \sqrt{12} = \sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -\sqrt{3}\). - Tiếp theo, ta tính bình phương của \(-\sqrt{3}\): \[ (-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3. \] 2. Phủ định mệnh đề \(H: (\sqrt{3} - \sqrt{12})^2 = 3\): - Mệnh đề ban đầu \(H\) là \((\sqrt{3} - \sqrt{12})^2 = 3\). - Mệnh đề phủ định \(\overline{H}\) sẽ là: \[ \overline{H}: (\sqrt{3} - \sqrt{12})^2 \neq 3. \] Vậy, ta đã lập luận từng bước để chứng minh rằng mệnh đề phủ định của \(H\) là \(\overline{H}: (\sqrt{3} - \sqrt{12})^2 \neq 3\). Câu 3: a) Mệnh đề A: "-$\frac{1,3}{5}$ là một phân số" và "$\overline{\Lambda}^{\prime\prime}$-$\frac{1,3}{5}$ là số tự nhiên". Mệnh đề phủ định của A là: "-$\frac{1,3}{5}$ không phải là một phân số" và "$\overline{\Lambda}^{\prime\prime}$-$\frac{1,3}{5}$ không phải là số tự nhiên". Mệnh đề này sai vì -$\frac{1,3}{5}$ là một phân số và $\overline{\Lambda}^{\prime\prime}$-$\frac{1,3}{5}$ không phải là số tự nhiên. b) Mệnh đề B: "Phương trình $x^2 + 3x - 2023 = 0$ có nghiệm" và $\overline{B}:$ "Phương trình $x^2 + 3x - 2023 = 0$ không có nghiệm". Mệnh đề phủ định của B là: "Phương trình $x^2 + 3x - 2023 = 0$ không có nghiệm" và "Phương trình $x^2 + 3x - 2023 = 0$ có nghiệm". Mệnh đề này sai vì phương trình $x^2 + 3x - 2023 = 0$ có nghiệm. c) Mệnh đề D: "Số 2023 chia hết cho 17" và $\overline{D}:$ "Số 2023 không chia hết cho 17". Mệnh đề phủ định của D là: "Số 2023 không chia hết cho 17" và "Số 2023 chia hết cho 17". Mệnh đề này sai vì số 2023 chia hết cho 17. d) Mệnh đề F: "Hai đường thẳng $y = 2023x + 1$ và $y = -2023x + 1$ không song song với nhau" và $\overline{F}:$ "Hai đường thẳng $y = 2023x + 1$ và $y = -2023x + 1$ vuông góc với nhau". Mệnh đề phủ định của F là: "Hai đường thẳng $y = 2023x + 1$ và $y = -2023x + 1$ song song với nhau" và "Hai đường thẳng $y = 2023x + 1$ và $y = -2023x + 1$ không vuông góc với nhau". Mệnh đề này sai vì hai đường thẳng $y = 2023x + 1$ và $y = -2023x + 1$ không song song với nhau và cũng không vuông góc với nhau. Bài tập 1: Mệnh đề kéo theo \( P \Rightarrow Q \) có dạng: Nếu \( P \) thì \( Q \). Trong trường hợp này, \( P \) là mệnh đề \( \pi > 4 \) và \( Q \) là mệnh đề \( \pi^2 > 10 \). Do đó, mệnh đề \( P \Rightarrow Q \) sẽ là: Nếu \( \pi > 4 \) thì \( \pi^2 > 10 \). Bây giờ chúng ta sẽ kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề này. Đầu tiên, hãy xem xét giá trị thực tế của \( \pi \): \( \pi \approx 3.14 \) Rõ ràng, \( \pi \) không lớn hơn 4, tức là \( \pi > 4 \) là một mệnh đề sai. Theo quy tắc trong logic, nếu giả thiết \( P \) là sai, thì bất kể kết luận \( Q \) có đúng hay sai, mệnh đề kéo theo \( P \Rightarrow Q \) đều là đúng. Vì vậy, mặc dù chúng ta không cần kiểm tra trực tiếp \( \pi^2 > 10 \) (vì \( \pi^2 \approx 9.86 \), nên \( \pi^2 > 10 \) là sai), nhưng do \( P \) là sai, mệnh đề \( P \Rightarrow Q \) vẫn là đúng. Kết luận: Mệnh đề \( P \Rightarrow Q \) là đúng. Bài tập 2: Mệnh đề đã cho là: "Nếu \( A = 90^\circ \) thì \(\Delta ABC\) là tam giác vuông." Mệnh đề đảo của mệnh đề này là: "Nếu \(\Delta ABC\) là tam giác vuông thì \( A = 90^\circ \)." Bây giờ, chúng ta sẽ xét tính đúng sai của mệnh đề đảo này. 1. Phân tích mệnh đề đảo: - Mệnh đề đảo nói rằng nếu tam giác \(\Delta ABC\) là tam giác vuông, thì góc \( A \) phải là \( 90^\circ \). 2. Xét tính đúng sai: - Một tam giác vuông là tam giác có một góc bằng \( 90^\circ \). Tuy nhiên, không nhất thiết góc \( A \) phải là góc vuông. Góc vuông có thể là bất kỳ góc nào trong ba góc của tam giác. - Ví dụ, nếu \(\Delta ABC\) là tam giác vuông tại \( B \) hoặc \( C \), thì góc \( A \) không phải là \( 90^\circ \). 3. Kết luận: - Mệnh đề đảo "Nếu \(\Delta ABC\) là tam giác vuông thì \( A = 90^\circ \)" là sai. Vì tam giác vuông có thể có góc vuông ở bất kỳ đỉnh nào, không nhất thiết phải là góc \( A \). Như vậy, mệnh đề đảo không đúng trong mọi trường hợp. Bài tập 3: Để phát biểu mệnh đề \( P \Rightarrow Q \) dưới dạng điều kiện cần và điều kiện đủ, chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của từng mệnh đề: - Mệnh đề \( P \): "ABCD là tứ giác nội tiếp." - Mệnh đề \( Q \): "Tổng số đo hai góc đối nhau bằng \( 180^\circ \)." Mệnh đề \( P \Rightarrow Q \) có nghĩa là nếu \( P \) đúng thì \( Q \) cũng đúng. Trong ngữ cảnh của bài toán này, điều đó có nghĩa là: "Nếu tứ giác \( ABCD \) là tứ giác nội tiếp, thì tổng số đo hai góc đối nhau bằng \( 180^\circ \)." Lập luận: 1. Điều kiện cần: - Để tứ giác \( ABCD \) là tứ giác nội tiếp, một điều kiện cần là tổng số đo hai góc đối nhau phải bằng \( 180^\circ \). Điều này có nghĩa là nếu tổng số đo hai góc đối nhau không bằng \( 180^\circ \), thì \( ABCD \) không thể là tứ giác nội tiếp. 2. Điều kiện đủ: - Nếu tứ giác \( ABCD \) là tứ giác nội tiếp, thì tổng số đo hai góc đối nhau bằng \( 180^\circ \). Điều này có nghĩa là việc \( ABCD \) là tứ giác nội tiếp đảm bảo rằng tổng số đo hai góc đối nhau sẽ bằng \( 180^\circ \). Tóm lại, mệnh đề \( P \Rightarrow Q \) có thể được phát biểu như sau: - "Để tứ giác \( ABCD \) là tứ giác nội tiếp, một điều kiện cần là tổng số đo hai góc đối nhau bằng \( 180^\circ \)." - "Nếu tứ giác \( ABCD \) là tứ giác nội tiếp, thì tổng số đo hai góc đối nhau bằng \( 180^\circ \) là điều kiện đủ." Bài tập 4: Mệnh đề $P\Leftrightarrow Q$ phát biểu là: Bất phương trình $x^2-3x+1>0$ có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình $x^2-3x+1\leq0$ vô nghiệm. Ta sẽ xét tính đúng sai của mệnh đề này bằng cách kiểm tra từng khẳng định P và Q. Khẳng định P: Bất phương trình $x^2-3x+1>0$ có nghiệm. - Ta biết rằng bất phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c > 0$ có nghiệm nếu biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac > 0$ hoặc nếu $a > 0$ và $c < 0$. - Với $x^2-3x+1$, ta có $a = 1$, $b = -3$, và $c = 1$. - Tính biệt thức $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5 > 0$. - Vì $\Delta > 0$, bất phương trình $x^2-3x+1>0$ có nghiệm. Khẳng định Q: Bất phương trình $x^2-3x+1\leq0$ vô nghiệm. - Ta biết rằng bất phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c \leq 0$ vô nghiệm nếu biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ hoặc nếu $a > 0$ và $c > 0$. - Với $x^2-3x+1$, ta đã tính được $\Delta = 5 > 0$. - Vì $\Delta > 0$, bất phương trình $x^2-3x+1\leq0$ có nghiệm. Do đó, khẳng định Q là sai vì bất phương trình $x^2-3x+1\leq0$ có nghiệm. Vì vậy, mệnh đề $P\Leftrightarrow Q$ là sai vì P đúng nhưng Q sai. Bài tập 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$, sau đó xét tính đúng sai của từng mệnh đề. a) - Mệnh đề $P$: "Tứ giác ABCD là hình thoi". - Mệnh đề $Q$: "Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường". Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$: "Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường". Mệnh đề này đúng vì trong hình thoi, hai đường chéo luôn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Phát biểu mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình thoi". Mệnh đề này không đúng trong mọi trường hợp, vì có thể tứ giác là hình chữ nhật mà vẫn thỏa mãn điều kiện này. b) - Mệnh đề $P$: "2 > 9". - Mệnh đề $Q$: "4 < 3". Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$: "Nếu 2 > 9 thì 4 < 3". Mệnh đề này đúng vì mệnh đề $P$ sai, do đó mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ luôn đúng. Phát biểu mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu 4 < 3 thì 2 > 9". Mệnh đề này cũng đúng vì mệnh đề $Q$ sai, do đó mệnh đề kéo theo $Q \Rightarrow P$ luôn đúng. c) - Mệnh đề $P$: "Tam giác ABC vuông cân tại A". - Mệnh đề $Q$: "Tam giác ABC có $\angle A = 2\angle B$". Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$: "Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì tam giác ABC có $\angle A = 2\angle B$". Mệnh đề này sai vì trong tam giác vuông cân tại A, $\angle A = 90^\circ$ và $\angle B = \angle C = 45^\circ$, không thỏa mãn $\angle A = 2\angle B$. Phát biểu mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu tam giác ABC có $\angle A = 2\angle B$ thì tam giác ABC vuông cân tại A". Mệnh đề này cũng sai vì không có thông tin nào đảm bảo tam giác vuông cân chỉ dựa vào điều kiện $\angle A = 2\angle B$. d) - Mệnh đề $P$: "Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam". - Mệnh đề $Q$: "Ngày 27 tháng 7 là ngày Thương binh liệt sĩ". Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$: "Nếu ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam thì ngày 27 tháng 7 là ngày Thương binh liệt sĩ". Mệnh đề này đúng vì cả hai mệnh đề $P$ và $Q$ đều đúng. Phát biểu mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu ngày 27 tháng 7 là ngày Thương binh liệt sĩ thì ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam". Mệnh đề này cũng đúng vì cả hai mệnh đề $P$ và $Q$ đều đúng. Bài tập 6: Để phát biểu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ bằng hai cách, chúng ta có thể sử dụng hai cách diễn đạt sau: 1. "P khi và chỉ khi Q." 2. "P tương đương với Q." Bây giờ, chúng ta sẽ xét từng trường hợp a) và b) để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề. a) P: "Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q: "Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau". Phân tích: - Mệnh đề P: Tứ giác ABCD là hình thoi. - Mệnh đề Q: Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau. Xét tính đúng sai: - Nếu ABCD là hình thoi (P đúng), thì ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau (Q đúng). Điều này là đúng vì một trong những tính chất của hình thoi là hai đường chéo vuông góc với nhau. - Ngược lại, nếu ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau (Q đúng), thì ABCD là hình thoi (P đúng). Điều này cũng đúng vì hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau chính là hình thoi. Vậy, mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là đúng. b) P: "Bất phương trình $\sqrt{x^2-3x}>1$ có nghiệm" và Q: "$\sqrt{(-1)^2-3(-1)}>1$". Phân tích: - Mệnh đề P: Bất phương trình $\sqrt{x^2-3x}>1$ có nghiệm. - Mệnh đề Q: $\sqrt{(-1)^2-3(-1)}>1$. Xét tính đúng sai: - Đầu tiên, xét mệnh đề Q: Tính giá trị của biểu thức $\sqrt{(-1)^2-3(-1)}$: \[ \sqrt{(-1)^2-3(-1)} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] Vì $2 > 1$, nên mệnh đề Q là đúng. - Tiếp theo, xét mệnh đề P: Giải bất phương trình $\sqrt{x^2-3x}>1$. Để giải bất phương trình này, trước tiên ta cần tìm điều kiện xác định: \[ x^2 - 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x(x-3) \geq 0 \] Bất phương trình này có nghiệm $x \leq 0$ hoặc $x \geq 3$. Tiếp theo, giải bất phương trình: \[ \sqrt{x^2-3x} > 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 3x > 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 3x - 1 > 0 \] Giải phương trình bậc hai $x^2 - 3x - 1 = 0$: \[ \Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13 \] Nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \] Bất phương trình $x^2 - 3x - 1 > 0$ có nghiệm $x < \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$ hoặc $x > \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$. Kết hợp với điều kiện xác định $x \leq 0$ hoặc $x \geq 3$, ta có nghiệm của bất phương trình là $x \leq 0$ hoặc $x > \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$. Do đó, bất phương trình có nghiệm, nên mệnh đề P là đúng. Vậy, mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là đúng. Tóm lại, cả hai mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ trong các trường hợp a) và b) đều đúng. Câu 1: Để xác định mệnh đề nào sai, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết: A. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có 3 góc vuông. - Một hình chữ nhật có 4 góc vuông. Do đó, mệnh đề này đúng vì nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì nó có 4 góc vuông, và tất nhiên có 3 góc vuông. B. Tam giác ABC là tam giác đều $\Leftrightarrow \widehat A = 60^\circ.$ - Một tam giác đều có 3 góc bằng nhau và mỗi góc bằng $60^\circ$. Do đó, nếu tam giác ABC là tam giác đều thì $\widehat A = 60^\circ$ và ngược lại, nếu $\widehat A = 60^\circ$ và tam giác ABC là tam giác đều thì các góc còn lại cũng bằng $60^\circ$. Mệnh đề này đúng. C. Tam giác ABC cân tại A $\Rightarrow AB = AC.$ - Định nghĩa tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Nếu tam giác ABC cân tại A, điều này có nghĩa là hai cạnh AB và AC bằng nhau. Mệnh đề này đúng. D. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O $\Rightarrow OA = OB = OC = OD$. - Một tứ giác nội tiếp đường tròn có nghĩa là tất cả các đỉnh của tứ giác đều nằm trên đường tròn. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là các đoạn thẳng nối từ tâm O đến các đỉnh của tứ giác đều bằng nhau. Chỉ có điều chắc chắn là các đỉnh A, B, C, D đều nằm trên đường tròn, nhưng không nhất thiết OA = OB = OC = OD. Mệnh đề này sai. Kết luận: Mệnh đề sai là D. Câu 2: Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề A: \[ \sqrt{23} < 5 \Rightarrow -2\sqrt{23} > -2 \cdot 5 \] Ta biết rằng: \[ \sqrt{23} < 5 \] Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số âm (-2), chiều của bất đẳng thức sẽ đổi chiều: \[ -2\sqrt{23} > -2 \cdot 5 \] \[ -2\sqrt{23} > -10 \] Mệnh đề này đúng. Mệnh đề B: \[ \pi < 4 \Leftrightarrow \pi^2 < 16 \] Ta biết rằng: \[ \pi < 4 \] Khi bình phương cả hai vế của bất đẳng thức: \[ \pi^2 < 4^2 \] \[ \pi^2 < 16 \] Mệnh đề này đúng. Mệnh đề C: \[ -\pi < -2 \Leftrightarrow \pi^2 < 4 \] Ta biết rằng: \[ -\pi < -2 \] Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với -1 (đổi chiều): \[ \pi > 2 \] Khi bình phương cả hai vế của bất đẳng thức: \[ \pi^2 > 2^2 \] \[ \pi^2 > 4 \] Mệnh đề này sai vì \(\pi^2\) không thể nhỏ hơn 4 nếu \(\pi > 2\). Mệnh đề D: \[ \sqrt{23} < 5 \Rightarrow 2\sqrt{23} < 2 \cdot 5 \] Ta biết rằng: \[ \sqrt{23} < 5 \] Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số dương (2), chiều của bất đẳng thức không đổi: \[ 2\sqrt{23} < 2 \cdot 5 \] \[ 2\sqrt{23} < 10 \] Mệnh đề này đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là: \[ \boxed{C} \] Câu 3: Ta biết rằng nếu \( P \Leftrightarrow Q \) là mệnh đề đúng thì \( \overline{P} \Leftrightarrow \overline{Q} \) cũng là mệnh đề đúng. Do đó khẳng định A là đúng. Nếu \( P \Leftrightarrow Q \) là mệnh đề đúng thì \( \overline{P} \Leftrightarrow Q \) là mệnh đề sai. Do đó khẳng định D là đúng. Nếu \( P \Leftrightarrow Q \) là mệnh đề đúng thì \( \overline{Q} \Leftrightarrow P \) là mệnh đề sai. Do đó khẳng định B là đúng. Khẳng định C là sai vì nếu \( P \Leftrightarrow Q \) là mệnh đề đúng thì \( \overline{P} \Leftrightarrow \overline{Q} \) cũng là mệnh đề đúng. Vậy đáp án là: \( C \). Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và các lựa chọn đã cho. 1. Mệnh đề P: "Hình bình hành ABCD có một góc vuông". 2. Mệnh đề Q: "ABCD là hình chữ nhật". Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ có nghĩa là: "Nếu hình bình hành ABCD có một góc vuông thì ABCD là hình chữ nhật". Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích từng lựa chọn: A. "Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì ABCD là hình bình hành và có một góc vuông." - Đây là mệnh đề $Q \Rightarrow P$, không phải $P \Rightarrow Q$. Do đó, A không đúng. B. "Nếu hình bình hành ABCD có một góc vuông thì ABCD là hình chữ nhật." - Đây chính là mệnh đề $P \Rightarrow Q$. Do đó, B là lựa chọn đúng. C. "Hình bình hành ABCD có một góc vuông khi và chỉ khi ABCD là hình chữ nhật." - Đây là mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$, không phải $P \Rightarrow Q$. Do đó, C không đúng. D. "Hình bình hành ABCD có một góc vuông là điều kiện cần và đủ để ABCD là hình chữ nhật." - Đây cũng là mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$, không phải $P \Rightarrow Q$. Do đó, D không đúng. Vậy, lựa chọn đúng là B: "Nếu hình bình hành ABCD có một góc vuông thì ABCD là hình chữ nhật." Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích định lý đã cho và các khái niệm liên quan. Định lý đã cho: "Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau." Phân tích: 1. Điều kiện cần: Một điều kiện cần cho một mệnh đề là điều kiện mà nếu không có nó, mệnh đề không thể đúng. Trong trường hợp này, nếu hai tam giác không bằng nhau, thì không thể khẳng định chắc chắn rằng diện tích của chúng bằng nhau. Do đó, hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích của chúng bằng nhau. 2. Điều kiện đủ: Một điều kiện đủ cho một mệnh đề là điều kiện mà nếu có nó, mệnh đề chắc chắn đúng. Trong trường hợp này, nếu hai tam giác bằng nhau, thì theo định lý đã cho, diện tích của chúng chắc chắn bằng nhau. Do đó, hai tam giác bằng nhau cũng là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau. Kết luận: Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau. Do đó, mệnh đề đúng là: "Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau." Đáp án: A. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau.