giuppp toiii

Câu 1: Để xét tính đúng sai của mệnh đề "Nếu \( \forall n \in \mathbb{Z} \) và \( n^2 \vdots 5 \) thì \( n \vdots 5 \)", chúng ta sẽ tiến hành như sau: 1. Giả sử \( n \) là một số nguyên và \( n^2 \vdots 5 \). Điều này có nghĩa là \( n^2 \) chia hết cho 5. 2. Ta cần chứng minh rằng nếu \( n^2 \) chia hết cho 5 thì \( n \) cũng chia hết cho 5. Ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh: - Giả sử ngược lại, tức là \( n \) không chia hết cho 5. Khi đó, \( n \) có thể viết dưới dạng một trong các trường hợp sau: - \( n = 5k + 1 \) - \( n = 5k + 2 \) - \( n = 5k + 3 \) - \( n = 5k + 4 \) Trường hợp 1: \( n = 5k + 1 \) \[ n^2 = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1 \] \[ n^2 \) không chia hết cho 5 (vì dư 1 khi chia cho 5). Trường hợp 2: \( n = 5k + 2 \) \[ n^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4 \] \[ n^2 \) không chia hết cho 5 (vì dư 4 khi chia cho 5). Trường hợp 3: \( n = 5k + 3 \) \[ n^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k) + 9 \] \[ n^2 \) không chia hết cho 5 (vì dư 9 khi chia cho 5). Trường hợp 4: \( n = 5k + 4 \) \[ n^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k) + 16 \] \[ n^2 \) không chia hết cho 5 (vì dư 16 khi chia cho 5). Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng nếu \( n \) không chia hết cho 5 thì \( n^2 \) cũng không chia hết cho 5. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là \( n^2 \) chia hết cho 5. Do đó, giả sử ngược lại là sai, suy ra \( n \) phải chia hết cho 5. Vậy mệnh đề "Nếu \( \forall n \in \mathbb{Z} \) và \( n^2 \vdots 5 \) thì \( n \vdots 5 \)" là đúng. Câu 2: Mệnh đề phủ định của các mệnh đề đã cho sẽ là: 1. Mệnh đề P: "Trong tam giác tổng ba góc bằng 1800" - Mệnh đề phủ định của P là: "Trong tam giác tổng ba góc không bằng 1800" 2. Mệnh đề Q: "66 không phải là số nguyên tố" - Mệnh đề phủ định của Q là: "66 là số nguyên tố" Lập luận từng bước: - Với mệnh đề P, chúng ta chỉ cần đảo ngược khẳng định về tổng ba góc trong tam giác từ "bằng 1800" thành "không bằng 1800". - Với mệnh đề Q, chúng ta cũng chỉ cần đảo ngược khẳng định về tính chất của số 66 từ "không phải là số nguyên tố" thành "là số nguyên tố". Câu 3: Mệnh đề đã cho là: ``$\forall x\in\Box,\exists y\in\Box:y=x+3$`` Để xét tính đúng sai của mệnh đề này, chúng ta cần hiểu rằng: - $\forall x\in\Box$ có nghĩa là "với mọi x thuộc hộp". - $\exists y\in\Box$ có nghĩa là "tồn tại y thuộc hộp". - $y=x+3$ có nghĩa là "y bằng x cộng 3". Do đó, mệnh đề này có thể được diễn đạt lại thành: "Với mọi x thuộc hộp, tồn tại y thuộc hộp sao cho y bằng x cộng 3." Bây giờ, chúng ta sẽ lập mệnh đề phủ định của mệnh đề trên. Mệnh đề phủ định của một mệnh đề có dạng $\forall x, P(x)$ là $\exists x, \neg P(x)$. Tương tự, mệnh đề phủ định của một mệnh đề có dạng $\exists x, P(x)$ là $\forall x, \neg P(x)$. Áp dụng quy tắc này, mệnh đề phủ định của ``$\forall x\in\Box,\exists y\in\Box:y=x+3$`` sẽ là: ``$\exists x\in\Box,\forall y\in\Box:y\neq x+3$`` Điều này có nghĩa là: "Tồn tại x thuộc hộp sao cho với mọi y thuộc hộp, y không bằng x cộng 3." Vậy, mệnh đề phủ định của mệnh đề ``$\forall x\in\Box,\exists y\in\Box:y=x+3$`` là ``$\exists x\in\Box,\forall y\in\Box:y\neq x+3$``. Đáp án cuối cùng: - Mệnh đề ``$\forall x\in\Box,\exists y\in\Box:y=x+3$`` là đúng nếu với mọi x thuộc hộp, tồn tại y thuộc hộp sao cho y bằng x cộng 3. - Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là ``$\exists x\in\Box,\forall y\in\Box:y\neq x+3$``. Câu 4: Để phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ dưới dạng điều kiện cần và đủ, chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của từng mệnh đề và mối quan hệ giữa chúng. Mệnh đề P: "ABCD là tứ giác nội tiếp." Mệnh đề Q: "Tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180^\circ$." Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ có nghĩa là nếu $P$ đúng thì $Q$ cũng đúng. Trong ngữ cảnh này, điều đó có nghĩa là nếu tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp, thì tổng số đo hai góc đối nhau của nó bằng $180^\circ$. Lập luận: 1. Tứ giác nội tiếp: Một tứ giác được gọi là nội tiếp nếu tất cả các đỉnh của nó nằm trên một đường tròn. Đặc điểm quan trọng của tứ giác nội tiếp là tổng số đo của hai góc đối nhau bằng $180^\circ$. 2. Chứng minh $P \Rightarrow Q$: - Giả sử $ABCD$ là tứ giác nội tiếp. Theo định lý về tứ giác nội tiếp, ta có: $\angle A + \angle C = 180^\circ$ và $\angle B + \angle D = 180^\circ$. - Do đó, mệnh đề $Q$ là đúng. 3. Chứng minh $Q \Rightarrow P$ (điều ngược lại): - Giả sử tổng số đo hai góc đối nhau của tứ giác $ABCD$ bằng $180^\circ$, tức là $\angle A + \angle C = 180^\circ$ hoặc $\angle B + \angle D = 180^\circ$. - Theo định lý đảo của định lý tứ giác nội tiếp, nếu tổng số đo hai góc đối nhau của một tứ giác bằng $180^\circ$, thì tứ giác đó là nội tiếp. - Do đó, mệnh đề $P$ là đúng. Từ hai lập luận trên, ta có thể kết luận rằng mệnh đề $P \Rightarrow Q$ có thể phát biểu dưới dạng điều kiện cần và đủ như sau: "Tứ giác $ABCD$ là nội tiếp khi và chỉ khi tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180^\circ$." Câu 5: Giả sử An nói đúng, suy ra Bình nói sai. Từ đó suy ra Vinh nói đúng. Như vậy cả ba đều nói đúng, trái với giả thiết. Vậy An không thể nói đúng. Giả sử Bình nói đúng, suy ra An nói sai. Từ đó suy ra Vinh nói sai. Như vậy cả hai đều nói sai, trái với giả thiết. Vậy Bình không thể nói đúng. Suy ra Vinh nói đúng. Do đó Bình nói sai. Từ đó suy ra An nói đúng. Như vậy chỉ có một người nói sai là Bình. Vậy Bình làm đổ mực. Câu 6: Một số tự nhiên lớn hơn 1 là số nguyên tố nếu nó chỉ có đúng hai ước số là 1 và chính nó. Số 23 chỉ có hai ước số là 1 và 23 nên số 23 là số nguyên tố. Vậy Kiên nói đúng, Cường nói sai.