Giải nhanh và chi tiết

Câu 13: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần xem xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm: - Trên khoảng \((-1, 0)\), \( f'(x) < 0 \), do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên các khoảng khác, \( f'(x) \geq 0 \) hoặc không xác định, nên hàm số không nghịch biến. Vậy, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((-1, 0)\). Câu 14: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) \), chúng ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Hàm số đồng biến khi \( f'(x) > 0 \). Bước 1: Xác định đạo hàm \( f'(x) \) \[ f'(x) = (x - 2)^2 (1 - x) \] Bước 2: Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \) \[ (x - 2)^2 (1 - x) = 0 \] \[ (x - 2)^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 1 - x = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Bước 3: Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn \( x = 1 \) và \( x = 2 \) - Khoảng \( (-\infty, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = (0 - 2)^2 (1 - 0) = 4 \cdot 1 = 4 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-\infty, 1) \). - Khoảng \( (1, 2) \): Chọn \( x = 1.5 \): \[ f'(1.5) = (1.5 - 2)^2 (1 - 1.5) = (-0.5)^2 (-0.5) = 0.25 \cdot (-0.5) = -0.125 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (1, 2) \). - Khoảng \( (2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f'(3) = (3 - 2)^2 (1 - 3) = 1^2 \cdot (-2) = 1 \cdot (-2) = -2 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (2, +\infty) \). Bước 4: Kết luận Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \). Đáp án: Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \). Câu 15: Để xác định khoảng mà hàm số \( y = f(x) \) đồng biến, ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Đạo hàm đã cho là: \[ f'(x) = (1 - x)^2 (x + 1)^2 (3 - x) \] Bước 1: Xác định các điểm tới hạn của đạo hàm \( f'(x) \): - Đặt \( f'(x) = 0 \) \[ (1 - x)^2 (x + 1)^2 (3 - x) = 0 \] Các nghiệm của phương trình này là: \[ 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] \[ 3 - x = 0 \Rightarrow x = 3 \] Như vậy, các điểm tới hạn là \( x = -1, x = 1, x = 3 \). Bước 2: Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn: - Các khoảng cần xét là: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \), \( (1, 3) \), \( (3, \infty) \) Bước 3: Chọn các giá trị đại diện trong mỗi khoảng để kiểm tra dấu của \( f'(x) \): 1. Khoảng \( (-\infty, -1) \): - Chọn \( x = -2 \) \[ f'(-2) = (1 - (-2))^2 ((-2) + 1)^2 (3 - (-2)) = (3)^2 (-1)^2 (5) = 9 \cdot 1 \cdot 5 = 45 > 0 \] - Vậy \( f'(x) > 0 \) trên \( (-\infty, -1) \) 2. Khoảng \( (-1, 1) \): - Chọn \( x = 0 \) \[ f'(0) = (1 - 0)^2 (0 + 1)^2 (3 - 0) = (1)^2 (1)^2 (3) = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3 > 0 \] - Vậy \( f'(x) > 0 \) trên \( (-1, 1) \) 3. Khoảng \( (1, 3) \): - Chọn \( x = 2 \) \[ f'(2) = (1 - 2)^2 (2 + 1)^2 (3 - 2) = (-1)^2 (3)^2 (1) = 1 \cdot 9 \cdot 1 = 9 > 0 \] - Vậy \( f'(x) > 0 \) trên \( (1, 3) \) 4. Khoảng \( (3, \infty) \): - Chọn \( x = 4 \) \[ f'(4) = (1 - 4)^2 (4 + 1)^2 (3 - 4) = (-3)^2 (5)^2 (-1) = 9 \cdot 25 \cdot (-1) = -225 < 0 \] - Vậy \( f'(x) < 0 \) trên \( (3, \infty) \) Bước 4: Kết luận: Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng mà đạo hàm \( f'(x) > 0 \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng: \[ (-\infty, -1), (-1, 1), (1, 3) \] Tuy nhiên, vì đề bài yêu cầu chọn một trong các khoảng dưới đây, chúng ta sẽ chọn khoảng mà hàm số đồng biến liên tục và dễ dàng hơn. Kết luận cuối cùng: Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-1, 1) \). Câu 16: Để xét tính đơn điệu của hàm số \( y = f(x) \), ta cần dựa vào dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Quan sát đồ thị của hàm số \( y = f'(x) \): 1. Khoảng \((-∞, 0)\): - Trên khoảng này, đồ thị của \( f'(x) \) nằm dưới trục hoành, do đó \( f'(x) < 0 \). - Suy ra, hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \((-∞, 0)\). 2. Khoảng \((0, 2)\): - Trên khoảng này, đồ thị của \( f'(x) \) nằm trên trục hoành, do đó \( f'(x) > 0 \). - Suy ra, hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \((0, 2)\). 3. Khoảng \((2, +∞)\): - Trên khoảng này, đồ thị của \( f'(x) \) nằm dưới trục hoành, do đó \( f'(x) < 0 \). - Suy ra, hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \((2, +∞)\). Kết luận: - Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên các khoảng \((-∞, 0)\) và \((2, +∞)\). - Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \((0, 2)\). Câu 17: Để xét tính đơn điệu của hàm số \( y = f(x) \), ta cần dựa vào dấu của đạo hàm \( f'(x) \). 1. Xác định các khoảng mà \( f'(x) \) có dấu dương hoặc âm: - Hàm số \( y = f'(x) \) cắt trục hoành tại các điểm mà \( f'(x) = 0 \). Dựa vào đồ thị, ta xác định các điểm này là các giao điểm của đồ thị với trục hoành. 2. Xét dấu của \( f'(x) \) trên từng khoảng: - Khoảng 1: Trước điểm cắt đầu tiên, \( f'(x) > 0 \). Do đó, hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng này. - Khoảng 2: Giữa điểm cắt đầu tiên và điểm cắt thứ hai, \( f'(x) < 0 \). Do đó, hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng này. - Khoảng 3: Giữa điểm cắt thứ hai và điểm cắt thứ ba, \( f'(x) > 0 \). Do đó, hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng này. - Khoảng 4: Giữa điểm cắt thứ ba và điểm cắt thứ tư, \( f'(x) < 0 \). Do đó, hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng này. - Khoảng 5: Sau điểm cắt thứ tư, \( f'(x) > 0 \). Do đó, hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng này. 3. Kết luận: - Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên các khoảng mà \( f'(x) > 0 \). - Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên các khoảng mà \( f'(x) < 0 \). Dựa vào đồ thị, ta có thể xác định chính xác các khoảng này và kết luận về tính đơn điệu của hàm số \( f(x) \). Câu 18: Để xét tính đơn điệu của hàm số \( y = f(x) \), ta cần dựa vào đồ thị của hàm số \( y = f'(x) \). Phân tích đồ thị \( y = f'(x) \): 1. Xác định các khoảng đơn điệu: - Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng mà \( f'(x) > 0 \). - Hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng mà \( f'(x) < 0 \). 2. Quan sát đồ thị: - Đồ thị \( y = f'(x) \) cắt trục hoành tại các điểm \( x = -2 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \). - Trên khoảng \( (-\infty, -2) \), \( f'(x) > 0 \) nên \( f(x) \) đồng biến. - Trên khoảng \( (-2, 0) \), \( f'(x) < 0 \) nên \( f(x) \) nghịch biến. - Trên khoảng \( (0, 2) \), \( f'(x) < 0 \) nên \( f(x) \) nghịch biến. - Trên khoảng \( (2, \infty) \), \( f'(x) > 0 \) nên \( f(x) \) đồng biến. Bài toán liên quan đến tham số \( m \): Cho hàm số \( y = -\frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (3m+2)x - 2 \). 1. Tính đạo hàm: \[ y' = -x^2 - 2mx + (3m+2) \] 2. Điều kiện để hàm số nghịch biến: - Hàm số nghịch biến khi \( y' \leq 0 \) với mọi \( x \). 3. Xét dấu của \( y' \): - Phương trình bậc hai \( -x^2 - 2mx + (3m+2) = 0 \) có nghiệm khi: \[ \Delta = (2m)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (3m+2) = 4m^2 + 12m + 8 \] - Để \( y' \leq 0 \) với mọi \( x \), phương trình không có nghiệm thực, tức là: \[ \Delta < 0 \Rightarrow 4m^2 + 12m + 8 < 0 \] 4. Giải bất phương trình: - Giải \( 4m^2 + 12m + 8 < 0 \): \[ m^2 + 3m + 2 < 0 \] - Phân tích thành nhân tử: \[ (m+1)(m+2) < 0 \] - Bất phương trình này nghiệm đúng khi: \[ -2 < m < -1 \] Vậy, để hàm số nghịch biến trên toàn bộ miền xác định, tham số \( m \) phải thỏa mãn \( -2 < m < -1 \). Câu 19: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên khoảng \((-\infty; +\infty)\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Giả sử hàm số cần tìm GTLN và GTNN là \( f(x) \). 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: Các điểm tới hạn là các giá trị của \( x \) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. 3. Xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) để xác định khoảng tăng giảm của hàm số: - Nếu \( f'(x) > 0 \) thì hàm số đồng biến. - Nếu \( f'(x) < 0 \) thì hàm số nghịch biến. 4. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - So sánh giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \). 5. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là giá trị lớn nhất trong các giá trị đã so sánh. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đã so sánh. Ví dụ cụ thể: Giả sử hàm số cần tìm GTLN và GTNN là \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 2x - 4 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) để xác định khoảng tăng giảm của hàm số: - Khi \( x < 2 \), \( f'(x) < 0 \) nên hàm số nghịch biến. - Khi \( x > 2 \), \( f'(x) > 0 \) nên hàm số đồng biến. 4. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Tại \( x = 2 \), giá trị của hàm số là: \[ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \] - Giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 4x + 3) = +\infty \] 5. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-1\), đạt được khi \( x = 2 \). - Hàm số không có giá trị lớn nhất vì giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \) là \( +\infty \). Đáp số: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-1\), đạt được khi \( x = 2 \). - Hàm số không có giá trị lớn nhất.