Giải nhanh và chi tiết

Câu 19: Để hàm số \( y = -\frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (3m + 2)x - 2 \) nghịch biến trên khoảng \((- \infty; +\infty)\), ta cần đảm bảo rằng đạo hàm bậc nhất của hàm số \( y' \leq 0 \) trên toàn bộ khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = -x^2 - 2mx + (3m + 2) \] Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên khoảng \((- \infty; +\infty)\), ta cần \( y' \leq 0 \) trên toàn bộ khoảng này. Điều này có nghĩa là đồ thị của \( y' \) phải nằm hoàn toàn dưới trục hoành hoặc tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất. Bước 3: Ta xét dấu của \( y' \): \[ y' = -x^2 - 2mx + (3m + 2) \] Để \( y' \leq 0 \) trên toàn bộ khoảng \((- \infty; +\infty)\), ta cần \( y' \) có tối đa một nghiệm thực và \( y' \) luôn âm hoặc bằng không. Bước 4: Tìm điều kiện để \( y' \) có tối đa một nghiệm thực: \[ -x^2 - 2mx + (3m + 2) = 0 \] Phương trình này là một phương trình bậc hai. Để phương trình này có tối đa một nghiệm thực, biệt thức \( \Delta \) của nó phải nhỏ hơn hoặc bằng không: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Trong đó \( a = -1 \), \( b = -2m \), và \( c = 3m + 2 \). Tính biệt thức: \[ \Delta = (-2m)^2 - 4(-1)(3m + 2) \] \[ \Delta = 4m^2 + 4(3m + 2) \] \[ \Delta = 4m^2 + 12m + 8 \] Yêu cầu \( \Delta \leq 0 \): \[ 4m^2 + 12m + 8 \leq 0 \] Bước 5: Giải bất phương trình: \[ 4m^2 + 12m + 8 \leq 0 \] \[ m^2 + 3m + 2 \leq 0 \] \[ (m + 1)(m + 2) \leq 0 \] Bước 6: Xác định khoảng giá trị của \( m \): \[ (m + 1)(m + 2) \leq 0 \] \[ -2 \leq m \leq -1 \] Vậy, điều kiện của tham số \( m \) để hàm số \( y = -\frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (3m + 2)x - 2 \) nghịch biến trên khoảng \((- \infty; +\infty)\) là: \[ -2 \leq m \leq -1 \]