Giúp em với ak

Câu 6: Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định (TXĐ): Hàm số \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \) có mẫu số là \( x \). Do đó, \( x \neq 0 \). Vậy tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \). 2. Tính đạo hàm \( y' \): Ta có \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \). Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức, ta có: \[ y' = \frac{(x^2 + 4)' \cdot x - (x^2 + 4) \cdot x'}{x^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (x^2 + 4)' = 2x \quad \text{và} \quad x' = 1 \] Thay vào công thức đạo hàm: \[ y' = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 4) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} \] Rút gọn: \[ y' = \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2} \] 3. Xác định các điểm tới hạn: Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2} = 0 \] Giải phương trình này: \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Ngoài ra, \( y' \) không xác định tại \( x = 0 \). 4. Xét dấu của \( y' \) trên các khoảng: Các khoảng cần xét là \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 0) \), \( (0, 2) \), và \( (2, \infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, -2) \): Chọn \( x = -3 \): \[ y' = \frac{(-3 - 2)(-3 + 2)}{(-3)^2} = \frac{(-5)(-1)}{9} = \frac{5}{9} > 0 \] Hàm số đồng biến. - Trên khoảng \( (-2, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ y' = \frac{(-1 - 2)(-1 + 2)}{(-1)^2} = \frac{(-3)(1)}{1} = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \( (0, 2) \): Chọn \( x = 1 \): \[ y' = \frac{(1 - 2)(1 + 2)}{1^2} = \frac{(-1)(3)}{1} = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \( (2, \infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ y' = \frac{(3 - 2)(3 + 2)}{3^2} = \frac{(1)(5)}{9} = \frac{5}{9} > 0 \] Hàm số đồng biến. 5. Kết luận: Hàm số \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (2, \infty) \), và nghịch biến trên các khoảng \( (-2, 0) \) và \( (0, 2) \). Đáp số: Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (2, \infty) \), và nghịch biến trên các khoảng \( (-2, 0) \) và \( (0, 2) \). Câu 7: Phần a) \( y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 \) Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Ta có: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) = 3x^2 - 6x \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 3: Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng - Khoảng \((-\infty, 0)\): Chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((-\infty, 0)\). - Khoảng \((0, 2)\): Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((0, 2)\). - Khoảng \((2, +\infty)\): Chọn \( x = 3 \): \[ f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((2, +\infty)\). Bước 4: Lập bảng biến thiên | \( x \) | \(-\infty\) | 0 | 2 | \(+\infty\) | |---------------|-------------|-----------|-----------|-------------| | \( f'(x) \) | \( + \) | 0 | 0 | \( + \) | | \( f(x) \) | | \( \searrow \) | \( \nearrow \) | | Phần b) \( y = f(x) = x + \frac{1}{x} \) Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Ta có: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2} \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) \[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \] \[ \frac{1}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bước 3: Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng - Khoảng \((-\infty, -1)\): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = 1 - \frac{1}{(-2)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((-\infty, -1)\). - Khoảng \((-1, 0)\): Chọn \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = 1 - \frac{1}{(-0.5)^2} = 1 - 4 = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((-1, 0)\). - Khoảng \((0, 1)\): Chọn \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = 1 - \frac{1}{(0.5)^2} = 1 - 4 = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((0, 1)\). - Khoảng \((1, +\infty)\): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((1, +\infty)\). Bước 4: Lập bảng biến thiên | \( x \) | \(-\infty\) | -1 | 0 | 1 | \(+\infty\) | |---------------|-------------|-----------|-----------|-----------|-------------| | \( f'(x) \) | \( + \) | 0 | \( - \) | 0 | \( + \) | | \( f(x) \) | | \( \searrow \) | \( \nearrow \) | \( \searrow \) | \( \nearrow \) | Kết luận - Hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \) đồng biến trên \((-\infty, 0)\) và \((2, +\infty)\), nghịch biến trên \((0, 2)\). - Hàm số \( y = x + \frac{1}{x} \) đồng biến trên \((-\infty, -1)\) và \((1, +\infty)\), nghịch biến trên \((-1, 0)\) và \((0, 1)\). Câu 8: Để lập bảng biến thiên và xác định các khoảng đơn điệu của hàm số \( y = f(x) = 2x^3 + 6x^2 + 6x - 9 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Đạo hàm của \( f(x) \) là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 6x^2 + 6x - 9) = 6x^2 + 12x + 6 \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) Giải phương trình: \[ 6x^2 + 12x + 6 = 0 \] Chia cả hai vế cho 6: \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \] Phương trình này có thể viết lại thành: \[ (x + 1)^2 = 0 \] Do đó: \[ x = -1 \] Bước 3: Xác định dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng Chúng ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (-1, +\infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = 6(-2)^2 + 12(-2) + 6 = 24 - 24 + 6 = 6 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Tại \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 6(-1)^2 + 12(-1) + 6 = 6 - 12 + 6 = 0 \] - Trên khoảng \( (-1, +\infty) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = 6(0)^2 + 12(0) + 6 = 6 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-1, +\infty) \). Bước 4: Lập bảng biến thiên Bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \) như sau: | \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | \( +\infty \) | |--------------|----------------|------------|----------------| | \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( + \) | | \( f(x) \) | \( \nearrow \) | | \( \nearrow \) | Kết luận Hàm số \( f(x) = 2x^3 + 6x^2 + 6x - 9 \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (-1, +\infty) \).