Giải nhanh và chi tiết 20. Cho hàm số $y=\frac{2x-m}{x-1}.$,Xác định điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác,địh của nó.,Câu 21. Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số,$y=x^3-3x^2+3(m+1)x+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Question

Accepted Answer

Để hàm số $ y = \frac{2x - m}{x - 1} $ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó, ta cần tìm điều kiện của tham số $ m $.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Hàm số $ y = \frac{2x - m}{x - 1} $ có mẫu số $ x - 1 \neq 0 $, suy ra $ x \neq 1 $. Vậy tập xác định của hàm số là:
$$ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} $$

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số.
Ta có:
$$ y&#x27; = \frac{(2)(x - 1) - (2x - m)(1)}{(x - 1)^2} $$
$$ y&#x27; = \frac{2x - 2 - 2x + m}{(x - 1)^2} $$
$$ y&#x27; = \frac{m - 2}{(x - 1)^2} $$

Bước 3: Xét dấu của đạo hàm.
Để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó, đạo hàm $ y&#x27; $ phải dương trên mỗi khoảng xác định của nó.

Do $ (x - 1)^2 > 0 $ với mọi $ x \neq 1 $, nên dấu của $ y&#x27; $ phụ thuộc vào tử số $ m - 2 $.

- Nếu $ m - 2 > 0 $, tức là $ m > 2 $, thì $ y&#x27; > 0 $ với mọi $ x \neq 1 $. Hàm số sẽ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Vậy điều kiện của tham số $ m $ để hàm số $ y = \frac{2x - m}{x - 1} $ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó là:
$$ m > 2 $$

Câu 21:
Để hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 3(m+1)x + 2 $ đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của nó $ y&#x27; \geq 0 $ trên toàn bộ miền $\mathbb{R}$.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số:
$$ y&#x27; = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 3(m+1)x + 2) $$
$$ y&#x27; = 3x^2 - 6x + 3(m+1) $$

Bước 2: Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta cần $ y&#x27; \geq 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $. Điều này có nghĩa là đa thức bậc hai $ 3x^2 - 6x + 3(m+1) $ phải không âm trên toàn bộ miền $\mathbb{R}$.

Bước 3: Đa thức bậc hai $ ax^2 + bx + c $ không âm trên toàn bộ miền $\mathbb{R}$ nếu và chỉ nếu $ a > 0 $ và $ \Delta \leq 0 $, trong đó $ \Delta = b^2 - 4ac $.

Trong trường hợp này:
$$ a = 3 $$
$$ b = -6 $$
$$ c = 3(m+1) $$

Do $ a = 3 > 0 $, ta chỉ cần kiểm tra điều kiện $ \Delta \leq 0 $:
$$ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3(m+1) $$
$$ \Delta = 36 - 36(m+1) $$
$$ \Delta = 36 - 36m - 36 $$
$$ \Delta = -36m $$

Yêu cầu $ \Delta \leq 0 $:
$$ -36m \leq 0 $$
$$ m \geq 0 $$

Vậy, tham số thực $ m $ phải thỏa mãn điều kiện $ m \geq 0 $ để hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 3(m+1)x + 2 $ đồng biến trên $\mathbb{R}$.