giúp với ạ

Câu 13: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} - \sqrt{2x} + a^2 \), ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản. 1. Đạo hàm của \( \frac{x^4}{2} \): \[ \left( \frac{x^4}{2} \right)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 = 2x^3 \] 2. Đạo hàm của \( \frac{5x^3}{3} \): \[ \left( \frac{5x^3}{3} \right)' = \frac{5}{3} \cdot 3x^2 = 5x^2 \] 3. Đạo hàm của \( -\sqrt{2x} \): \[ \left( -\sqrt{2x} \right)' = -\left( (2x)^{1/2} \right)' = -\frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot 2 = -\frac{1}{\sqrt{2x}} \] 4. Đạo hàm của \( a^2 \) (với \( a \) là hằng số): \[ (a^2)' = 0 \] Kết hợp tất cả các kết quả trên, ta có: \[ y' = 2x^3 + 5x^2 - \frac{1}{\sqrt{2x}} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~2x^3 + 5x^2 - \frac{1}{\sqrt{2x}}} \] Câu 14: Để tìm hàm số có đạo hàm bằng \(\frac{1}{\sqrt{2x}}\), chúng ta sẽ tính đạo hàm của từng hàm số trong các lựa chọn A, B, C, D và so sánh với \(\frac{1}{\sqrt{2x}}\). 1. Kiểm tra đáp án A: \( f(x) = 2\sqrt{x} \) Ta có: \[ f'(x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \] So sánh với \(\frac{1}{\sqrt{2x}}\): \[ \frac{1}{\sqrt{x}} \neq \frac{1}{\sqrt{2x}} \] Vậy đáp án A không đúng. 2. Kiểm tra đáp án B: \( f(x) = \sqrt{x} \) Ta có: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] So sánh với \(\frac{1}{\sqrt{2x}}\): \[ \frac{1}{2\sqrt{x}} \neq \frac{1}{\sqrt{2x}} \] Vậy đáp án B không đúng. 3. Kiểm tra đáp án C: \( f(x) = \sqrt{2x} \) Ta có: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{2x}) = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}} \] So sánh với \(\frac{1}{\sqrt{2x}}\): \[ \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}} \] Vậy đáp án C đúng. 4. Kiểm tra đáp án D: \( f(x) = -\frac{1}{\sqrt{2x}} \) Ta có: \[ f'(x) = -\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{2x}}\right) = -\left(-\frac{1}{2(2x)^{3/2}} \cdot 2\right) = \frac{1}{(2x)^{3/2}} = \frac{1}{2x\sqrt{2x}} \] So sánh với \(\frac{1}{\sqrt{2x}}\): \[ \frac{1}{2x\sqrt{2x}} \neq \frac{1}{\sqrt{2x}} \] Vậy đáp án D không đúng. Kết luận: Hàm số có đạo hàm bằng \(\frac{1}{\sqrt{2x}}\) là \( f(x) = \sqrt{2x} \). Đáp án: \( \boxed{C} \). Câu 15: Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra tính đúng đắn của mỗi mệnh đề dựa trên các quy tắc đạo hàm cơ bản. Mệnh đề A: \[ [u(x) + v(x)]' = u'(x) + v'(x) \] Đây là quy tắc đạo hàm của tổng hai hàm số, do đó mệnh đề này đúng. Mệnh đề B: \[ \left(\frac{1}{v(x)}\right)' = \frac{v'(x)}{v^2(x)} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số nghịch đảo, ta có: \[ \left(\frac{1}{v(x)}\right)' = -\frac{v'(x)}{v^2(x)} \] Do đó, mệnh đề này sai vì thiếu dấu âm. Mệnh đề C: \[ [u(x) \cdot v(x)]' = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x) \] Đây là quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số, do đó mệnh đề này đúng. Mệnh đề D: \[ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - v'(x) \cdot u(x)}{v^2(x)} \] Đây là quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số, do đó mệnh đề này đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề B. Đáp án: B. \(\left(\frac{1}{v(x)}\right)' = \frac{v'(x)}{v^2(x)}\) Câu 16: Để tính đạo hàm của hàm số \( y = x^2 - \frac{1}{x} \), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm cơ bản. Bước 1: Tách hàm số thành hai phần: \[ y = x^2 - \frac{1}{x} \] Bước 2: Đạo hàm từng phần riêng lẻ. - Đạo hàm của \( x^2 \): \[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] - Đạo hàm của \( \frac{1}{x} \): \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \] Bước 3: Kết hợp các kết quả lại: \[ y' = 2x - \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 2x + \frac{1}{x^2} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = x^2 - \frac{1}{x} \) là: \[ y' = 2x + \frac{1}{x^2} \]