Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính sin B, sinC, biết:
a) AB = 13, BH = 5
b) BH = 3, CH = 4

Question

Accepted Answer

Bài 12:
Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường cao trong tam giác vuông.

a) Với AB = 13, BH = 5

1. Tính AH:

Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH và CH. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

$$
   AH^2 = AB \times AC
   $$

Do đó, ta cần tính AC trước. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH:

$$
   AB^2 = AH^2 + BH^2
   $$

Thay số vào:

$$
   13^2 = AH^2 + 5^2
   $$

$$
   169 = AH^2 + 25
   $$

$$
   AH^2 = 144 \Rightarrow AH = 12
   $$

2. Tính AC:

Sử dụng lại định lý đường cao:

$$
   AH^2 = AB \times AC
   $$

$$
   12^2 = 13 \times AC
   $$

$$
   144 = 13 \times AC
   $$

$$
   AC = \frac{144}{13}
   $$

3. Tính sin B và sin C:

- Sin B trong tam giác vuông ABC là:

$$
     \sin B = \frac{AC}{BC}
     $$

Ta cần tính BC:

$$
     BC = BH + CH = 5 + \frac{144}{13}
     $$

$$
     BC = \frac{65}{13} + \frac{144}{13} = \frac{209}{13}
     $$

$$
     \sin B = \frac{\frac{144}{13}}{\frac{209}{13}} = \frac{144}{209}
     $$

- Sin C trong tam giác vuông ABC là:

$$
     \sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{13}{\frac{209}{13}} = \frac{13}{209}
     $$

b) Với BH = 3, CH = 4

1. Tính BC:

$$
   BC = BH + CH = 3 + 4 = 7
   $$

2. Tính AH:

Sử dụng định lý đường cao:

$$
   AH^2 = BH \times CH
   $$

$$
   AH^2 = 3 \times 4 = 12 \Rightarrow AH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
   $$

3. Tính AB và AC:

- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH:

$$
     AB^2 = AH^2 + BH^2
     $$

$$
     AB^2 = (2\sqrt{3})^2 + 3^2 = 12 + 9 = 21 \Rightarrow AB = \sqrt{21}
     $$

- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ACH:

$$
     AC^2 = AH^2 + CH^2
     $$

$$
     AC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 4^2 = 12 + 16 = 28 \Rightarrow AC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}
     $$

4. Tính sin B và sin C:

- Sin B trong tam giác vuông ABC là:

$$
     \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{2\sqrt{7}}{7}
     $$

- Sin C trong tam giác vuông ABC là:

$$
     \sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{21}}{7}
     $$

Vậy, các giá trị sin B và sin C đã được tính toán cho cả hai trường hợp.