giúp phân tích và giải bài chi tiết

Để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số, ta cần xét đạo hàm của chúng. a) Hàm số \( y = x^3 - \frac{3}{2}x^2 \) 1. Tính đạo hàm: \[ y' = 3x^2 - 3x = 3x(x - 1) \] 2. Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] 3. Xét dấu đạo hàm: - Trên khoảng \((- \infty, 0)\), chọn \(x = -1\), ta có \(y' = 3(-1)(-1 - 1) = 6 > 0\). - Trên khoảng \((0, 1)\), chọn \(x = \frac{1}{2}\), ta có \(y' = 3 \times \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2} - 1\right) = -\frac{3}{4} < 0\). - Trên khoảng \((1, +\infty)\), chọn \(x = 2\), ta có \(y' = 3 \times 2 \times (2 - 1) = 6 > 0\). 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên các khoảng \((- \infty, 0)\) và \((1, +\infty)\). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0, 1)\). b) Hàm số \( y = \sqrt[3]{(x^2 - 4)^2} \) 1. Điều kiện xác định: Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\). 2. Tính đạo hàm: Đặt \(u = (x^2 - 4)^2\), ta có \(y = u^{\frac{1}{3}}\). \[ y' = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}} \cdot u' \] Tính \(u'\): \[ u' = 2(x^2 - 4) \cdot 2x = 4x(x^2 - 4) \] Vậy: \[ y' = \frac{1}{3}(x^2 - 4)^{-\frac{4}{3}} \cdot 4x(x^2 - 4) = \frac{4x}{3}(x^2 - 4)^{-\frac{1}{3}} \] 3. Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{4x}{3}(x^2 - 4)^{-\frac{1}{3}} = 0 \implies x = 0 \] 4. Xét dấu đạo hàm: - Trên khoảng \((- \infty, 0)\), chọn \(x = -1\), ta có \(y' < 0\). - Trên khoảng \((0, +\infty)\), chọn \(x = 1\), ta có \(y' > 0\). 5. Kết luận: - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((- \infty, 0)\). - Hàm số đồng biến trên khoảng \((0, +\infty)\).