giup minh voi a So học sinh cua mơi lvp.,Câu 11:(2,5 điểm).Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao BD, CE cắt nhau,tại H.,a) Chứng minh: $\Delta ADB\backsim\Delta AEC$ và $AD.AC=AE.AB$,b) Trên đoạn thẳng BD và CE lần lượt lấy các điểm M và N sao cho $AM=AN.$ và,$PMC=90^0$ Chứng minh rằng: $ANB=90^0.$

Question

Accepted Answer

Câu 11:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Chứng minh: $\Delta ADB \sim \Delta AEC$ và $AD \cdot AC = AE \cdot AB$

1. Chứng minh $\Delta ADB \sim \Delta AEC$:

- Xét hai tam giác $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$.
   - Ta có $\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ$ (vì BD và CE là các đường cao của tam giác ABC).
   - $\angle BAD = \angle CAE$ (cùng phụ với $\angle ADB$ và $\angle AEC$).
   - Do đó, $\Delta ADB \sim \Delta AEC$ theo trường hợp góc - góc (g-g).

2. Chứng minh $AD \cdot AC = AE \cdot AB$:

- Từ $\Delta ADB \sim \Delta AEC$, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng:
     $$
     \frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC}
     $$
   - Nhân chéo, ta được:
     $$
     AD \cdot AC = AE \cdot AB
     $$

b) Chứng minh rằng: $ANB = 90^\circ$

1. Xét các điều kiện đã cho:

- Trên đoạn thẳng BD và CE lần lượt lấy các điểm M và N sao cho $AM = AN$.
   - $\angle PMC = 90^\circ$.

2. Chứng minh $\angle ANB = 90^\circ$:

- Do $AM = AN$, tam giác $\Delta AMN$ là tam giác cân tại A.
   - Xét tam giác $\Delta PMC$ vuông tại M, ta có $\angle PMC = 90^\circ$.
   - Vì $AM = AN$ và $\angle PMC = 90^\circ$, điểm M và N nằm trên đường tròn đường kính AC.
   - Do đó, $\angle ANB$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên $\angle ANB = 90^\circ$.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.