Câu $\rm 3.$

Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh: \((SAB) \bot (SBC)\). 1. Xác định các mặt phẳng cần chứng minh vuông góc: - Mặt phẳng \((SAB)\) chứa các điểm \(S, A, B\). - Mặt phẳng \((SBC)\) chứa các điểm \(S, B, C\). 2. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: - Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SBC)\) là đường thẳng \(SB\). 3. Chứng minh \(SB\) vuông góc với một đường thẳng trong mỗi mặt phẳng: - Trong mặt phẳng \((SAB)\), đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) nên \(SA \bot AB\). - Trong mặt phẳng \((SBC)\), đường thẳng \(SC\) cũng vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) nên \(SC \bot BC\). 4. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: - Vì \(SA \bot AB\) và \(SC \bot BC\), mà \(AB \parallel BC\) (do \(ABCD\) là hình vuông), nên \(SA \bot BC\) và \(SC \bot AB\). - Do đó, \(SB\) là giao tuyến của hai mặt phẳng và vuông góc với cả \(SA\) và \(SC\), nên \((SAB) \bot (SBC)\). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(DM\). 1. Xác định vị trí các điểm: - \(A(0, 0, 0)\), \(B(2a, 0, 0)\), \(C(2a, 2a, 0)\), \(D(0, 2a, 0)\). - \(S(0, 0, a\sqrt{2})\). - \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(M(2a, a, 0)\). 2. Viết phương trình đường thẳng \(SB\): - \(S(0, 0, a\sqrt{2})\), \(B(2a, 0, 0)\). - Vector chỉ phương của \(SB\) là \(\overrightarrow{SB} = (2a, 0, -a\sqrt{2})\). 3. Viết phương trình đường thẳng \(DM\): - \(D(0, 2a, 0)\), \(M(2a, a, 0)\). - Vector chỉ phương của \(DM\) là \(\overrightarrow{DM} = (2a, -a, 0)\). 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: - Vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa \(SB\) và song song với \(DM\) là \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{DM} = (0, -2a^2\sqrt{2}, -2a^2)\). - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là: \[ d = \frac{|(0, 2a, 0) \cdot (0, -2a^2\sqrt{2}, -2a^2)|}{\sqrt{0^2 + (-2a^2\sqrt{2})^2 + (-2a^2)^2}} \] - Tính toán: \[ d = \frac{|0 \cdot 0 + 2a \cdot (-2a^2\sqrt{2}) + 0 \cdot (-2a^2)|}{\sqrt{0 + 8a^4 + 4a^4}} \] \[ = \frac{|-4a^3\sqrt{2}|}{\sqrt{12a^4}} = \frac{4a^3\sqrt{2}}{2a^2\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] \[ = \frac{2a\sqrt{6}}{3} \] Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(DM\) là \(\frac{2a\sqrt{6}}{3}\).