Làm giúp tôi $y=\frac4{\sin(\sqrt{x^2-4})}$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ y = \frac{4}{\sin(\sqrt{x^2 - 4})} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Hàm số $ y = \frac{4}{\sin(\sqrt{x^2 - 4})} $ có nghĩa khi:
$$ \sin(\sqrt{x^2 - 4}) \neq 0 $$
và
$$ x^2 - 4 \geq 0 $$

Từ $ x^2 - 4 \geq 0 $, ta có:
$$ x^2 \geq 4 $$
$$ |x| \geq 2 $$
$$ x \leq -2 \text{ hoặc } x \geq 2 $$

Tiếp theo, để $ \sin(\sqrt{x^2 - 4}) \neq 0 $:
$$ \sqrt{x^2 - 4} \neq k\pi \quad \text{(với $ k $ là số nguyên)} $$
$$ x^2 - 4 \neq k^2\pi^2 $$
$$ x^2 \neq 4 + k^2\pi^2 $$

Do đó, ĐKXĐ của hàm số là:
$$ x \leq -2 \text{ hoặc } x \geq 2 $$
và
$$ x^2 \neq 4 + k^2\pi^2 \quad \text{(với $ k $ là số nguyên)} $$

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN)
Xét hàm số $ y = \frac{4}{\sin(\sqrt{x^2 - 4})} $.

Giá trị của $ \sin(\theta) $ nằm trong khoảng $[-1, 1]$. Do đó, $ \sin(\sqrt{x^2 - 4}) $ cũng nằm trong khoảng $[-1, 1]$.

Trường hợp 1: $ \sin(\sqrt{x^2 - 4}) = 1 $
$$ y = \frac{4}{1} = 4 $$

Trường hợp 2: $ \sin(\sqrt{x^2 - 4}) = -1 $
$$ y = \frac{4}{-1} = -4 $$

Trường hợp 3: $ \sin(\sqrt{x^2 - 4}) = 0 $
Không thể xảy ra vì $ \sin(\sqrt{x^2 - 4}) \neq 0 $.

Kết luận
Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số $ y = \frac{4}{\sin(\sqrt{x^2 - 4})} $ là 4, đạt được khi $ \sin(\sqrt{x^2 - 4}) = 1 $.

Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ y = \frac{4}{\sin(\sqrt{x^2 - 4})} $ là -4, đạt được khi $ \sin(\sqrt{x^2 - 4}) = -1 $.

Đáp số:
- Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số là 4, đạt được khi $ \sin(\sqrt{x^2 - 4}) = 1 $.
- Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là -4, đạt được khi $ \sin(\sqrt{x^2 - 4}) = -1 $.