giải rõ ràng chi tiết
toán lớp 12 Cánh Diều Ví dụ 7 Tìm điểm cực trị của hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}.$

Question

giải rõ ràng chi tiết 
toán lớp 12 Cánh Diều Ví dụ 7 Tìm điểm cực trị của hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}.$

Accepted Answer

Ví dụ 7:
Để tìm điểm cực trị của hàm số $ y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   Hàm số $ y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} $ là một phân thức, do đó chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức để tìm đạo hàm $ y&#x27; $.

Đặt $ u = x^2 + x + 1 $ và $ v = x + 1 $. Khi đó:
   $$
   u&#x27; = 2x + 1 \quad \text{và} \quad v&#x27; = 1
   $$

Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức $ \left( \frac{u}{v} \right)&#x27; = \frac{u&#x27;v - uv&#x27;}{v^2} $:
   $$
   y&#x27; = \frac{(2x + 1)(x + 1) - (x^2 + x + 1)(1)}{(x + 1)^2}
   $$

Tính tử số:
   $$
   (2x + 1)(x + 1) = 2x^2 + 2x + x + 1 = 2x^2 + 3x + 1
   $$
   $$
   (x^2 + x + 1)(1) = x^2 + x + 1
   $$

Do đó:
   $$
   y&#x27; = \frac{2x^2 + 3x + 1 - (x^2 + x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 3x + 1 - x^2 - x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}
   $$

2. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $:
   $$
   \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} = 0
   $$

Để phân số bằng 0, tử số phải bằng 0:
   $$
   x^2 + 2x = 0
   $$
   $$
   x(x + 2) = 0
   $$

Giải phương trình này:
   $$
   x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2
   $$

3. Kiểm tra dấu của đạo hàm $ y&#x27; $ để xác định điểm cực trị:

- Xét khoảng $ (-\infty, -2) $:
     Chọn $ x = -3 $:
     $$
     y&#x27; = \frac{(-3)^2 + 2(-3)}{(-3 + 1)^2} = \frac{9 - 6}{4} = \frac{3}{4} > 0
     $$

- Xét khoảng $ (-2, -1) $:
     Chọn $ x = -1.5 $:
     $$
     y&#x27; = \frac{(-1.5)^2 + 2(-1.5)}{(-1.5 + 1)^2} = \frac{2.25 - 3}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0
     $$

- Xét khoảng $ (-1, \infty) $:
     Chọn $ x = 0 $:
     $$
     y&#x27; = \frac{0^2 + 2 \cdot 0}{(0 + 1)^2} = \frac{0}{1} = 0
     $$

Từ đó, ta thấy:
   - Tại $ x = -2 $, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, nên $ x = -2 $ là điểm cực đại.
   - Tại $ x = 0 $, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên $ x = 0 $ là điểm cực tiểu.

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:

- Tại $ x = -2 $:
     $$
     y = \frac{(-2)^2 + (-2) + 1}{-2 + 1} = \frac{4 - 2 + 1}{-1} = \frac{3}{-1} = -3
     $$

- Tại $ x = 0 $:
     $$
     y = \frac{0^2 + 0 + 1}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1
     $$

Kết luận:
- Hàm số đạt cực đại tại $ x = -2 $ với giá trị $ y = -3 $.
- Hàm số đạt cực tiểu tại $ x = 0 $ với giá trị $ y = 1 $.

giải rõ ràng chi tiết toán lớp 12 Cánh Diều