Giải hộ mình câu này với các bạn 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên $SA=a\sqrt2.$ Tính góc,giữa cạnh bên và mặt đáy.

Question

Accepted Answer

Để tính góc giữa cạnh bên $ SA $ và mặt đáy $ ABCD $ của hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm của đáy:

Đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Gọi $ O $ là tâm của hình vuông $ ABCD $. Khi đó, $ O $ là giao điểm của hai đường chéo $ AC $ và $ BD $. Ta có:
   $$
   AC = BD = a\sqrt{2}
   $$
   Do đó, tọa độ của $ O $ là trung điểm của $ AC $ hoặc $ BD $.

2. Xác định chiều cao của hình chóp:

Vì hình chóp $ S.ABCD $ là hình chóp tứ giác đều, nên $ SO $ là đường cao của hình chóp. Ta có tam giác vuông $ SAO $ với:
   $$
   SA = a\sqrt{2}
   $$
   và $ AO = \frac{a\sqrt{2}}{2} $ (vì $ O $ là trung điểm của $ AC $).

3. Tính chiều cao $ SO $:

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ SAO $:
   $$
   SO^2 + AO^2 = SA^2
   $$
   $$
   SO^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (a\sqrt{2})^2
   $$
   $$
   SO^2 + \frac{a^2}{2} = 2a^2
   $$
   $$
   SO^2 = 2a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{4a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}
   $$
   $$
   SO = \frac{a\sqrt{6}}{2}
   $$

4. Tính góc giữa $ SA $ và mặt phẳng $ (ABCD) $:

Góc giữa cạnh bên $ SA $ và mặt phẳng đáy $ (ABCD) $ chính là góc $ \angle SAO $. Ta có:
   $$
   \cos \angle SAO = \frac{AO}{SA} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}
   $$

Do đó, góc $ \angle SAO = 60^\circ $.

Vậy, góc giữa cạnh bên $ SA $ và mặt đáy $ ABCD $ là $ 60^\circ $.