Gải bài sau

Bài 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng định nghĩa của các hàm số lượng giác trong tam giác vuông. Cho tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại A, ta có: - Cạnh huyền là $BC$. - Cạnh góc vuông $AB$ đối diện với góc $C$. - Cạnh góc vuông $AC$ đối diện với góc $B$. Ta cần kiểm tra từng khẳng định: A. $AC = BC \cdot \sin B$ - Trong tam giác vuông, $\sin B = \frac{\text{đối diện}}{\text{huyền}} = \frac{AC}{BC}$. - Do đó, $AC = BC \cdot \sin B$ là đúng. B. $AC = BC \cdot \sin C$ - Trong tam giác vuông, $\sin C = \frac{\text{đối diện}}{\text{huyền}} = \frac{AB}{BC}$. - Do đó, $AC = BC \cdot \sin C$ là sai. C. $AC = AB \cdot \sin B$ - Trong tam giác vuông, $\sin B = \frac{\text{đối diện}}{\text{huyền}} = \frac{AC}{BC}$. - Do đó, $AC = AB \cdot \sin B$ là sai. D. $AC = AB \cdot \sin C$ - Trong tam giác vuông, $\sin C = \frac{\text{đối diện}}{\text{huyền}} = \frac{AB}{BC}$. - Do đó, $AC = AB \cdot \sin C$ là sai. Vậy khẳng định đúng là: A. $AC = BC \cdot \sin B$. Bài 2: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông và góc đặc biệt. Cho tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại A, với $BC = 5$ cm và $\widehat B = 45^\circ$. Ta cần tính độ dài cạnh $AB$. Trong tam giác vuông, nếu một góc nhọn là $45^\circ$, thì tam giác đó là tam giác vuông cân. Điều này có nghĩa là hai cạnh góc vuông bằng nhau. Do đó, $AB = AC$. Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông $\Delta ABC$, ta có: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Vì $AB = AC$, ta có: \[ BC^2 = 2 \cdot AB^2 \] Thay $BC = 5$ cm vào phương trình trên: \[ 5^2 = 2 \cdot AB^2 \] \[ 25 = 2 \cdot AB^2 \] \[ AB^2 = \frac{25}{2} \] \[ AB = \sqrt{\frac{25}{2}} \] \[ AB = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}} \] \[ AB = \frac{5}{\sqrt{2}} \] Để biểu diễn dưới dạng phân số với mẫu số là số nguyên, ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{2}$: \[ AB = \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \] \[ AB = \frac{5\sqrt{2}}{2} \] Vậy độ dài cạnh $AB$ là $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ cm. Đáp án đúng là $C.~AB=\frac{5\sqrt2}2~cm$. Bài 3: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Cho tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại A, với $BC = 10~cm$ và $\widehat B = 60^\circ$. Ta cần tính độ dài cạnh $AC$. Trong tam giác vuông, ta có: - $\sin \widehat B = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}}$ - $\cos \widehat B = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}}$ - $\tan \widehat B = \frac{\text{đối}}{\text{kề}}$ Với $\widehat B = 60^\circ$, ta có: - $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ - $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ Trong tam giác vuông $\Delta ABC$, cạnh $BC$ là cạnh huyền, cạnh $AC$ là cạnh đối với góc $B$. Sử dụng tỉ số $\sin \widehat B$, ta có: \[ \sin 60^\circ = \frac{AC}{BC} \] Thay giá trị vào, ta có: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{10} \] Giải phương trình trên để tìm $AC$: \[ AC = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}~cm \] Vậy, độ dài cạnh $AC$ là $5\sqrt{3}~cm$. Đáp án đúng là B. $AC = 5\sqrt{3}~cm$. Bài 4: Để tính độ dài cạnh \( AC \) trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), ta sử dụng định lý về góc và cạnh trong tam giác vuông. Vì \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \) và \( \widehat C = 30^\circ \), ta có: \[ \sin \widehat C = \frac{AC}{AB} \] Thay số vào, ta có: \[ \sin 30^\circ = \frac{AC}{9} \] Biết rằng \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), ta có phương trình: \[ \frac{1}{2} = \frac{AC}{9} \] Giải phương trình này, ta nhân cả hai vế với 9: \[ AC = 9 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5~cm \] Tuy nhiên, có vẻ như đã có sự nhầm lẫn trong việc tính toán. Để kiểm tra lại, ta sử dụng công thức khác: Vì \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \) và \( \widehat C = 30^\circ \), ta có: \[ \cos \widehat C = \frac{AB}{BC} \] Thay số vào, ta có: \[ \cos 30^\circ = \frac{9}{BC} \] Biết rằng \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), ta có phương trình: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{BC} \] Giải phương trình này, ta nhân cả hai vế với \( BC \) và sau đó chia cho \( \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ BC = \frac{9 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}~cm \] Bây giờ, sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \Delta ABC \): \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] Thay số vào, ta có: \[ 9^2 + AC^2 = (6\sqrt{3})^2 \] \[ 81 + AC^2 = 108 \] \[ AC^2 = 108 - 81 = 27 \] \[ AC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}~cm \] Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Có thể có sự nhầm lẫn trong việc tính toán hoặc đề bài. Đáp án gần nhất là \( AC = 9\sqrt{3}~cm \), nhưng cần kiểm tra lại đề bài hoặc các bước tính toán. Bài 5: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Cho tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại A, với $AC = 11~cm$ và góc $\widehat{C} = 54^\circ$. Ta cần tính độ dài cạnh $AB$. Trong tam giác vuông, ta có: \[ \sin \widehat{C} = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} \] Ở đây, cạnh đối diện với góc $\widehat{C}$ là $AB$, và cạnh huyền là $AC$. Do đó: \[ \sin 54^\circ = \frac{AB}{AC} \] Thay giá trị $AC = 11~cm$ vào phương trình trên, ta có: \[ \sin 54^\circ = \frac{AB}{11} \] Sử dụng bảng giá trị lượng giác, ta có $\sin 54^\circ \approx 0.8090$. Thay vào phương trình: \[ 0.8090 = \frac{AB}{11} \] Giải phương trình này để tìm $AB$: \[ AB = 11 \times 0.8090 \approx 8.899 \] Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có $AB \approx 9~cm$. Tuy nhiên, có vẻ như đã có sự nhầm lẫn trong việc tính toán hoặc đề bài. Để kiểm tra lại, ta có thể sử dụng công thức khác: \[ \cos \widehat{C} = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}} \] Ở đây, cạnh kề với góc $\widehat{C}$ là $BC$, và cạnh huyền là $AC$. Do đó: \[ \cos 54^\circ = \frac{BC}{11} \] Sử dụng bảng giá trị lượng giác, ta có $\cos 54^\circ \approx 0.5878$. Thay vào phương trình: \[ 0.5878 = \frac{BC}{11} \] Giải phương trình này để tìm $BC$: \[ BC = 11 \times 0.5878 \approx 6.466 \] Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $\Delta ABC$: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Thay các giá trị đã biết: \[ AB^2 = 11^2 + 6.466^2 \] \[ AB^2 = 121 + 41.82 \approx 162.82 \] \[ AB \approx \sqrt{162.82} \approx 12.76 \] Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có $AB \approx 13~cm$. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn trong các lựa chọn đáp án. Tuy nhiên, theo cách tính toán này, $AB$ gần với $13~cm$. Bài 6: Để tính chiều cao của cây \(AB\), ta sử dụng tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\). Ta có góc \(\widehat{C} = 30^\circ\) và cạnh \(AC = 12 \, m\). Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có: \[ \tan \widehat{C} = \frac{AB}{AC} \] Với \(\widehat{C} = 30^\circ\), ta có \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Thay vào công thức: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{12} \] Giải phương trình trên để tìm \(AB\): \[ AB = 12 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} \] Rút gọn: \[ AB = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3} \] Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ AB \approx 6 \, m \] Vậy chiều cao của cây \(AB\) là khoảng \(6 \, m\). Đáp án đúng là: \(A. \, AB \approx 6 \, m\).