Câu $\rm 1.$

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. 2. Giải phương trình để tìm các nghiệm. 3. Lọc các nghiệm nằm trong đoạn \([-50\pi; 100\pi]\). 4. Tính tổng các nghiệm và tìm giá trị của \(m\). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình \(\frac{\cos3x}{\sqrt{3}\tan x + 1} = 0\) có mẫu số là \(\sqrt{3}\tan x + 1\). Để phương trình có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ \sqrt{3}\tan x + 1 \neq 0 \implies \tan x \neq -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x \neq -\frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Bước 2: Giải phương trình Phương trình \(\frac{\cos3x}{\sqrt{3}\tan x + 1} = 0\) sẽ bằng 0 khi tử số bằng 0: \[ \cos3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Bước 3: Lọc các nghiệm nằm trong đoạn \([-50\pi; 100\pi]\) Chúng ta cần tìm các giá trị của \(k\) sao cho \(x\) nằm trong đoạn \([-50\pi; 100\pi]\): \[ -50\pi \leq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \leq 100\pi \] Chia cả hai vế cho \(\pi\): \[ -50 \leq \frac{1}{6} + \frac{k}{3} \leq 100 \] Nhân cả hai vế với 6: \[ -300 \leq 1 + 2k \leq 600 \] Trừ 1 từ cả hai vế: \[ -301 \leq 2k \leq 599 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ -150.5 \leq k \leq 299.5 \] Vì \(k\) là số nguyên, nên \(k\) nằm trong khoảng \([-150; 299]\). Bước 4: Tính tổng các nghiệm và tìm giá trị của \(m\) Các nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \quad (k = -150, -149, \ldots, 299) \] Tổng các nghiệm là: \[ \sum_{k=-150}^{299} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \right) = \sum_{k=-150}^{299} \frac{\pi}{6} + \sum_{k=-150}^{299} \frac{k\pi}{3} \] \[ = 450 \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \sum_{k=-150}^{299} k \] \[ = 75\pi + \frac{\pi}{3} \cdot 0 = 75\pi \] Vậy tổng các nghiệm trong đoạn \([-50\pi; 100\pi]\) là \(75\pi\). Do đó, \(m = 75\). Đáp số: \(m = 75\)