Câu $\rm 2.$

Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \( \sin^2 a + \cos^2 a \). 2. Tìm giá trị của \( \sin a \cdot \cos a \). 3. Dùng các giá trị đã tìm được để tính \( A = \sin a - \cos a \). Bước 1: Tìm giá trị của \( \sin^2 a + \cos^2 a \) Ta biết rằng: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Bước 2: Tìm giá trị của \( \sin a \cdot \cos a \) Ta có: \[ (\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cos a \] \[ \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 1 + 2 \sin a \cos a \] \[ \frac{1}{9} = 1 + 2 \sin a \cos a \] \[ 2 \sin a \cos a = \frac{1}{9} - 1 \] \[ 2 \sin a \cos a = \frac{1}{9} - \frac{9}{9} \] \[ 2 \sin a \cos a = -\frac{8}{9} \] \[ \sin a \cos a = -\frac{4}{9} \] Bước 3: Dùng các giá trị đã tìm được để tính \( A = \sin a - \cos a \) Ta có: \[ (\sin a - \cos a)^2 = \sin^2 a + \cos^2 a - 2 \sin a \cos a \] \[ (\sin a - \cos a)^2 = 1 - 2 \left( -\frac{4}{9} \right) \] \[ (\sin a - \cos a)^2 = 1 + \frac{8}{9} \] \[ (\sin a - \cos a)^2 = \frac{9}{9} + \frac{8}{9} \] \[ (\sin a - \cos a)^2 = \frac{17}{9} \] \[ \sin a - \cos a = \pm \sqrt{\frac{17}{9}} \] \[ \sin a - \cos a = \pm \frac{\sqrt{17}}{3} \] Vì \( -\frac{\pi}{2} < a < 0 \), nên \( \sin a \) âm và \( \cos a \) dương. Do đó, \( \sin a - \cos a \) sẽ âm. Vậy: \[ \sin a - \cos a = -\frac{\sqrt{17}}{3} \] Do đó, \( m = 17 \) và \( n = 3 \). Vậy \( m + n = 17 + 3 = 20 \). Đáp án cuối cùng là: \[ m + n = 20 \]