Câu $\rm 3.$

Câu 3: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm số tầng của mô hình kim tự tháp. Mỗi tầng của kim tự tháp có số đồng xu giảm dần theo cấp số cộng. Bước 1: Xác định dãy số - Số đồng xu ở tầng thứ nhất (tầng dưới cùng) là \(a_1 = 4901\). - Số đồng xu giảm đi 100 đồng mỗi tầng, do đó công sai \(d = -100\). Bước 2: Biểu thức tổng quát của dãy số Số đồng xu ở tầng thứ \(n\) là: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = 4901 + (n-1) \cdot (-100) \] \[ a_n = 4901 - 100(n-1) \] \[ a_n = 5001 - 100n \] Bước 3: Tính tổng số đồng xu Tổng số đồng xu của kim tự tháp là 122550. Tổng của dãy số này là: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] Thay \(a_1 = 4901\) và \(a_n = 5001 - 100n\) vào công thức tổng: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (4901 + 5001 - 100n) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (9902 - 100n) \] Bước 4: Giải phương trình Ta có phương trình: \[ \frac{n}{2} \cdot (9902 - 100n) = 122550 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu: \[ n \cdot (9902 - 100n) = 245100 \] Giải phương trình bậc hai: \[ 9902n - 100n^2 = 245100 \] \[ 100n^2 - 9902n + 245100 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 100\), \(b = -9902\), \(c = 245100\): \[ n = \frac{9902 \pm \sqrt{9902^2 - 4 \cdot 100 \cdot 245100}}{200} \] Tính toán: \[ n = \frac{9902 \pm \sqrt{98019844 - 98040000}}{200} \] \[ n = \frac{9902 \pm \sqrt{19844}}{200} \] \[ n = \frac{9902 \pm 140.8}{200} \] Chọn nghiệm dương: \[ n = \frac{9902 + 140.8}{200} \approx 50.214 \] Vì \(n\) phải là số nguyên, ta chọn \(n = 50\). Kết luận: Mô hình kim tự tháp có tất cả 50 tầng.